Question

矩形的定义

Answer 1

矩形也叫长方形，是有一个内角是直角的平行四边形。

在几何学科定义中，矩形为四个内角相等的四边形，即是说所有内角均为直角。

判定：

矩形的常见判定方法如下：

（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；

（2）对角线相等的平行四边形是矩形；

（3）有三个角是直角的四边形是矩形；

（4）定理：经过证明，在同一平面内，任意两角是直角，任意一组对边相等的四边形是矩形；

（5）对角线相等且互相平分的四边形是矩形。

判定应用：

例1：如下图，已知ABCD的对角线AC和BD相交于点O，△AOB是等边三角形，AB=4．求这个平行四边形的面积。

分析：首先根据△AOB是等边三角形及平行四边形对角线互相平分的性质判定出ABCD是矩形，再利用勾股定理计算边长，从而得到面积。

例2：已知：如下图，在ABCD中，M为BC中点，∠MAD=∠MDA.求证：四边形ABCD是矩形。

分析：根据定义去证明一个角是直角，由△ABM≌DCM(SSS)即可实现。

证明：

因为平行四边形ABCD

故：AB=CD，AB‖CD

故：∠B+∠D=180度

因为M是BC中点

故：BM=MC

因为∠MAD=∠MDA

故：MA=MD

故：△MAB≌△MDC（SSS）

故：∠B=∠D=90度

故：四边形ABCD是矩形（有一个内角为90度的平行四边形是矩形）

例3：已知：如下图，ABCD的四个内角平分线相交于点E，F，G，H．求证：EG=FH。

分析：要证的EG，FH为四边形EFGH的对角线，因此只需证明四边形EFGH为矩形，可选用“三个角是直角的四边形是矩形”来证明。

例4：已知：如下图，在△ABC中，∠C= 90°，CD为中线，延长CD到点E，使得DE=CD，连结AE，BE，则四边形ACBE为矩形。