Question

17.设Sn是数列{an}}的前n项和,已知 a3=0 , a(n+1)+(-1)^nSn=2^n？

Answer 1

因为：

An+1 + (-1)^n * Sn = 2^n = An+1 + (-1) * (-1)^(n-1) * Sn
An + (-1)^(n-1) * Sn-1 = 2^(n-1)
两式左、右两边分别相加，得到：
An+1 + An + (-1)^(n-1) * (-Sn + Sn-1) = An+1 + An + (-1)^n * An = 3 * 2^(n-1)
或者：
An + [1 + (-1)^(n-1)] * An-1 = 3 * 2^(n-2)
当 n = 3 时，A3 + 2A2 = 3 * 2。所以 A2 = 3
当 n = 2 时，S1 = A1。则 A2 - A1 = 2，所以，A1 = 1
当 n 为偶数时，则 An = 3 * 2^(n-2)。
当 n 为 > 3 的奇数时，则 An + 2An-1 = An + 2 * 3 * 2^(n-3) = 2^(n-1)
那么：An = 2^(n-1) - 3 * 2^(n-2) = -2^(n-2)