Question

22设函数 z=y^x+cos(xy), 求dz.

Answer 1

😳 : 设函数 z=y^x+cos(xy), 求dz

👉微分

• 微分是一个变量在某个变化过程中的改变量的线性主要部分。若函数y=f(x)在点x处有导数f'(x)存在，则y因x的变化量△x所引起的改变量是△y=f(x+△x)一f(x)=f'(x)·△x+o(△x)，式中o(△x)随△x趋于0。因此△y的线性形式的主要部分dy=f'(x)△x是y的微分。 [6]  可见，微分作为函数的一种运算，是与求导（函）数的运算一致的。

• 微分的中心思想是无穷分割。微分是函数改变量的线性主要部分。微积分的基本概念之一。

👉微分的例子

1. 『例子一』  y=x, dy=dx
   

2. 『例子二』  y=sinx, dy=cosx dx

3. 『例子三』  y=x^2, dy=2x dx

👉回答

u=y^x

lnu = xlny

du/u = (x/y) dy + lny dx

du = [(x/y) dy + lny dx] y^x

z=y^x+cos(xy)

• 两边取微分

dz

=d(y^x+cos(xy))

• 分开微分

=d(y^x)+d(cos(xy))

= [(x/y) dy + lny dx] y^x +(-sin(xy)) d(xy)

= [(x/y) dy + lny dx] y^x +(-sin(xy)) (x dy +y dx)

• 化简

=(lny.y^x - ysin(xy) dx+  [(x/y) -xsin(xy)]dy

• 得出结果
  

dz=(lny.y^x - ysin(xy) dx+  [(x/y) -xsin(xy)]dy

😄: dz=(lny.y^x - ysin(xy) dx+  [(x/y) -xsin(xy)]dy

Answer 2

z = y^x + cos(xy),
∂z/∂x = y^xlny - ysin(xy), ∂z/∂y = xy^(x-1) - xsin(xy)
dz. = [y^xlny - ysin(xy)]dx + [xy^(x-1) - xsin(xy)]dy