是不是矩阵的行列式等于矩阵的秩?
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是的,当A与B是同阶方阵时,|AB|=|A||B|,这是一个基本性质。
首先容易证明:当A或B为初等阵时等式成立。
由于满秩阵都可以由初等阵化来,所以可以写成:
A=P1P2P3...PnA0Q1Q2...Qm,其中A0为A的对角化标准阵,易知|A0B|=|A0|*|B|,所以:
|AB|=|P1P2P3...PnA0Q1Q2...QmB|
=|P1||P2||P3|...|Pn||A0Q1Q2...QmB|
=|P1||P2||P3|...|Pn||A0||Q1||Q2|...|Qm||B|
=|A||B|
补充:|A0|=|A|,初等阵的行列式=1
|AB|=|A||B|用两次拉普拉斯公式即证,可以自己设二阶矩阵照我这种方法验证。
对n采用数学归纳法证明。显然,因为1×1矩阵是对称的,该结论对n=1是成立的。假设这个结论对所有k×k矩阵也是成立的,对(k+1)×(k+1)矩阵A,将det(A)按照A的第一行展开。
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