😳问题 : ∫(-a->a) [√(a^2-x^2) + xsin(x^2) ]dx
👉定积分
定积分是积分的一种，是函数f(x)在区间[a,b]上积分和的极限。
这里应注意定积分与不定积分之间的关系：若定积分存在，则它是一个具体的数值，而不定积分是一个函数表达式，它们仅仅在数学上有一个计算关系（牛顿-莱布尼茨公式）。
一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分；也可以存在定积分，而不存在不定积分。一个连续函数，一定存在定积分和不定积分；若只有有限个间断点，则定积分存在；若有跳跃间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在
👉定积分的例子
『例子一』 ∫(0->1) dx = [x]|(0->1) =1
『例子二』 ∫(0->1) cosx dx = [sinx]|(0->1) = sin1
『例子三』 ∫(0->1) x dx = (1/2)[x^2]|(0->1) = 1/2
👉回答
∫(-a->a) [√(a^2-x^2) + xsin(x^2) ]dx
分开定积分
=∫(-a->a) √(a^2-x^2) dx +∫(-a->a) xsin(x^2) dx
利用 xsin(x^2）是奇函数 => ∫(-a->a) xsin(x^2) dx =0
=∫(-a->a) √(a^2-x^2) dx +0
√(a^2-x^2) 是偶函数
=2∫(0->a) √(a^2-x^2) dx
令 x=asinu
dx= acosu du
x=0， u=0
x=a, u=π/2
=2a^2.∫(0->π/2) (cosu)^2 du
=a^2.∫(0->π/2) (1+cos2u) du
=a^2.[ u +(1/2)sin2u]|(0->π/2)
=(π/2)a^2
得出结果
∫(-a->a) [√(a^2-x^2) + xsin(x^2) ]dx =(π/2)a^2
😄: ∫(-a->a) [√(a^2-x^2) + xsin(x^2) ]dx =(π/2)a^2
