Question

如何推导牛顿第二定律和动量守恒定律？

Answer 1

动量定理和动能定理是牛顿力学中非常重要的定理，它们可以通过联立方程推导出来。下面将详细介绍推导过程。
1. 动量定理：
动量定理表明，当一个物体受到外力作用时，它的动量的变化率等于外力的大小。
设一个物体质量为m，速度为v，外力为F。根据牛顿第二定律，有：
F = ma （1）
物体的动量p定义为质量乘以速度，即：
p = mv （2）
我们对上述方程两边同时求导数，得到：
dp/dt = d(mv)/dt （3）
根据链式法则，右边可以写成：
dp/dt = m * dv/dt + v * dm/dt （4）
由于物体的质量m是常数，所以dm/dt = 0，将其代入方程（4）中，得到：
dp/dt = m * dv/dt （5）
再根据牛顿第二定律F = ma，将ma替换dp/dt，得到：
F = dp/dt （6）
这就是动量定理的表达式，它说明了力和动量之间的关系。
2. 动能定理：
动能定理表明，当一个物体受到外力作用时，它的动能的变化率等于外力对物体做的功。
设一个物体的质量为m，速度为v，动能为K。物体受到的外力F做功W，根据功的定义有：
W = F * s （7）
其中s为物体在力F的作用下位移的距离。
根据牛顿第二定律F = ma，可以将公式（7）改写为：
W = ma * s （8）
将速度v和位移s之间的关系v = ds/dt代入公式（8）中，得到：
W = m * (dv/dt) * ds （9）
根据链式法则，上式可以写成：
W = m * v * dv/dt * ds/dv （10）
由于ds/dv可以表示为时间t的函数，将其用dt表示，得到：
W = m * v * dv/dt * dt （11）
由于W即为动能的变化量ΔK，所以可以用ΔK表示W，得到：
ΔK = m * v * dv/dt * dt （12）
对上式进行积分，得到：
∫dK = m * ∫v * dv （13）
将上式从初态到末态积分，得到：
K2 - K1 = 1/2 * m * (v2^2 - v1^2) （14）
其中K2和K1分别为物体在末态和初态的动能，v2和v1分别为末态和初态的速度。
综上所述，方程（14）就是动能定理的表达式，它说明了外力对物体做功和动能之间的关系。
将动量定理和动能定理联立起来，可以得到更加深刻的结论。根据动量定理，有F = dp/dt，根据动能定理，有F = ma = dp/dt = d(mv)/dt。将这两个表达式相等，可以得到：
d(mv)/dt = ma （15）
这是联立动量定理和动能定理的方程，它进一步说明了力、动量和动能之间的关系。