Question

数论--素数

哪位高人帮个忙 证明下啊！要有具体过程哦！我刚申的号就20分 对任意的k，设p1、p2、……、pk为前k个素数，证明存在无穷多数对（p，p+2），其中p为素数，p+2与p1、p2、……、pk皆互素。

Answer 1

首先，楼上的证明是不完全的：
citation“由于质数分布的不确定性,对任意一个质数p1均存在另一个质数p2使得(p1+1)|(p2+1)”
你没有说清楚为什么。质数分布的不确定性并不能逻辑得得出你的结论。而应该用狄利克雷定理 Dirichlet's Theorem on Primes in Arithmetic Progressions.

正确的证明如下：
对任意的k，设p1、p2、……、pk为前k个素数，
构造Q=p1*p2*...*pk
则令p+2=mQ+1 与p1、p2、……、pk皆互素 m是正整数
则原命题等价于求证，有无穷多m，使得p=mQ-1为质数，
根据狄利克雷定理，"如果a，b互质，那么在算术级数an+b中有无限多个质数" n=1,2,3,...
在此令a=Q, b=Q-1, n=m-1
于是，(a,b)=1, an+b= Q(m-1)+Q-1=mQ-1
于是有无穷多n 使得an+b是质数，那么就有无穷多正整数m，使得p=mQ-1为质数。
得证

有关狄利克雷定理 Dirichlet's Theorem on Primes in Arithmetic Progressions的证明可以参见一下资料。

Answer 2

由于质数有无穷多个
要证
p1^r1*p2^r2*.....-1(r1...rk>=1,rk+1>=0)能够表征的质数仍为无限个
观察上式 的构型为(p1*p2*..pk)n-1 n为正整数 即证 mn-1型的质数有无穷多个(m为偶数)
假设仅能表征x个质数 mnx-1=p
由于质数分布的不确定性
对任意一个质数p1均存在另一个质数p2使得(p1+1)|(p2+1)
故存在c使得c(p+1)-1为质数
即 cmnx-1为质数 矛盾
所以(p1*p2*..pk)n-1表征的质数有无穷多个
又由于
p1^r1*p2^r2*.....+1(r1...rk>=1,rk+1>=0)与 p1,p2....皆互素
令p=p1^r1*....中的质数
则可知 p有无穷多个
综上命题得证