Question

一道函数的数学题

构造一个函数f(x)满足
1.f[(x1+x2)/2]≤[f(x1)+f(x2)]/2
2.定义域为(0,+∞)
3.值域为(0,1)
4.f(1)＞1/2

补充一句：
目前我构造了一个反正切的函数
f(x)=2/∏arctan[2/(√x)]
请尽量构造其他形式的函数
目前我已通过计算论证符合要求的函数有无限个
请给出较详细的说明论证过程 并给出验证符合条件的过程
我再重申一遍定义域是(0,+∞)不等于你可以从一个定义在比这个范围大的函数上截取一部分比如在定义在R上你取在(0,+∞)部分的函数
另：我构造的是g(x)满足
g(x)∈(-m,0) g"(x)>0 定义域是(0,+∞)
这样的g(x)我求了一堆
f(x)显然为g(x)的原函数……
但是由g(x)求f(x)原函数时有点变态所以才来求教

Answer 1

刚复习考研数学，来试试。这函数很真有无限个，我给你推荐个思路，具体哪个函数就不计算了。公式在我上传的图片上，不知能否看到？

正态分布的改造，自变量是x，其中常量u 和 σ 以及公式最后校正常数 C 都是可以变化的有理数。

1.众所周知，正态分布函数曲线在 x=u 处取得最大值。

2.在x=u+σ处出现拐点。

3.σ的变化使正态分布曲线形状变化，σ较小时曲线较陡，σ较大时，曲线较平坦

4.C的校正常量可以使曲线上下移动。 

①你试着在纸上划一下，只要使得x=u+σ（右拐点）在纵轴左边，可以保证你的第一个条件，函数为凹函数。

②自变量取平方根，很容易满足你的第二个条件

③④条件最好一起理解，有前面x=u+σ的拐点左右移动曲线，和σ使曲线的平陡变化，其实已经可以满足要求了。但是为了方便计算，可以再设定一个校正可变常数 C

以上条件三个可变常数，可以使你去的无穷多个附和条件的函数。我刚才粗略试算了一下，应该没问题。。。你可自己试试，定一下三个变量就ok了~

Answer 2

根据你的要求，首先构造定义域为(0,+∞)的表达式，例如你所用的
arctan[2/√x)]，1/√x,ln x等等。

现在构造具有（0，1）值域的表达式。

由于定义域在(0,+∞)，作为一个内部没有其他断点的函数来说，它的值域两端不能取到的值肯定是函数在x取0和+∞的极限值，即首先必须存在极限值，而极限值肯定可以通过简单的代数运算落在使之分别为0、1。其次要满足其他值都在两个极限值之内。

这里，作为一个的凹函数，值域有在两端极限值之间，那么它只能是严格递增或递减的。然而由于递增和递减都可以，那么只要构造一个在定义域内凹或者凸的函数即可，因为可以用1减去这个已构造的函数改变凹凸但不改变值域。

综上所述，构造的函数i)含有限制定义域的表达式，ii)存在极限值，iii)单调，iiii)凹或者凸。

构造前面i)、ii)两点很简单，很多表达式都具有这样的性质，例如：
2√x/(√x+√(x+1)-1)-1、 lnx/(lnx+1)
现在你的任务只是去验证它们的iii)单调性和iiii)凹凸性。
由于你构造的限制定义域的初等表达式基本都是单调且凹或凸的，而整体的函数表达式也是初等的，因此具有单调和凹凸性的函数肯定有很多。那么你也一定能找到很多。
lnx/(lnx+1) (或写作log(ax)x，即以ax为底的x的对数，此处a>1)相信就是最简单的一个。

Answer 3

您好：
解答如下
y=f(x)是奇函数，则函数图像关于原点对称
当x>0时，f(x)=x(1+x)
一般做法：在f(x)随意找三点例如（1，2）（2，6）（3，12）
它们关于原点的对称点为（-1，-2）（-2，-6）（-3，-12）
根据这三点求抛物线解析式就可以了得到x(1-x)
简单做法：(x,y)关于原点对称的点对是(-x,-y)，就是说如果点（x,y)在曲线y=f(x)上，则点(-x,-y)在曲线-y=f(-x)上.参照上述方法：
用-x,-y分别代换x,y定点-y=-x(1-x)--->y=x(1-x)。就是所要求的函数
谢谢采纳，有疑问欢迎您追问

Answer 4

1、首先建立直角坐标系，以A点做为原点。
2、设p点坐标为[x，-（2/3）x+40]。
3、于是有PQCR的面积为（200-x）*（160+（2/3）x-40）
4、对上面的代数式对x求导，使得导数式等于0，可以求得x的坐标值，继而求的p点坐标。
5、由上述方法得到的P点横坐标为100，超过了ef的范围，因此再考察e点和f点坐标哪个比较大就可以了。
答案：当p点与F点重合时最大
答案仅供参考，运算较为草率，如有错误，请见谅……

Answer 5

（1）设买锦江牌钢笔X支
y=8x+4.8(40-x)
（2）x<1/2(40-x)
x>1/4(40-x)
1/2意思是二分之一
等量关系列出来了，自己解吧，如果别人给你回答全了自己就不想思考了，以后遇到这种题还是不会，还有问题+我百度hi
函数学会了并不难，重要的是要学进去，真正熟练了就不难了，只是代表两个变量的之间的关系。祝你顺利