Question

大学物理——简谐振动

沿地球大圆的任意弦线挖一条管道，让物体沿管道在地球引力作用下从静止开始运动，忽略摩擦。
证明：物体做简谐振动，且周期是T=（3π/ρG)^(1/2)
ρ是地球密度5.52g/cm3

提示：参照静电场高斯定理，写出地球引力场的高斯定理。从而地球内物体受到的引力加速度大小为g=4πρGr/3

请给出具体计算证明过程，谢谢！

Answer 1

物体管道方向受力为f=FcosA=(GMm/r^2)x/r
M/M0=r^3/R^3,f=(GM0m/R^3)x
f+md^2x/dt^2=0,
d^2x/dt^2+(GM0/R^3)x=0为简谐振动,即
d^2x/dt^2+k^2x=0,k=(GM0/R^3)^(1/2)=（(4/3)πρG)^(1/2)
T=2π/k=（3π/ρG)^(1/2)