Question

设f（x）是定义在（0，正无穷）上的增函数，对一切m，n∈（0，正无穷），都有：

设f（x）是定义在（0，正无穷）上的增函数，对一切m，n∈（0，正无穷），都有：f（m／n）=f（m）-f（n），且f（4）=1，解关于x的不等式f（x+6）-f（1／x）＜2

Answer 1

因为f(x)是定义在(0,正无穷)上的增函数，故：
当m>n>0时，m/n>1,f(m/n)=f(m)-f(n)>0；
当m=n时，m/n=1,f(1)=0;
当0<m<n时，0<m/n<1,f(m/n)=f(m)-f(n)<0;

由于函数f(x)的x取值为正数，所以原不等式可以化为
f(x²+6x)<2,又f(4)=1,
所以原式可进一步化为 f(x²+6x)-f(4)-f(4)<0;
继续化简得 f[(x²+6x)/16]<0
所以可得 0<(x²+6x)/16<1
解得 0<x<2或者-8<x<-6 同时因为x>0;
故结果为 0<x<2