Question

高数计算问题！

设f(x)=x(x-1)(x-2)…(x-2007)，求f'(0)和f'(1).步骤详细点啊！谢谢！

Answer 1

把f(x)的导数写开来，用求导的乘积法则。会看到有很多项，但是之后就会发现，求f'(0)和f'(1)的时候，其实大部分的项都归零了
f'(x)=(x-1)(x-2)…(x-2007) + x(x-2)(x-3)…(x-2007) + … + x(x-1)(x-2)…(x-2006)
总共有2007项加起来
但注意到，这2000多项里，几乎每项都会含有x或者(x-1），只有一项例外，分别是上式写出来的第一和第二项，这样求f'(0)和f'(1)就大大简化了，因为我们只要关心那个非零项
f'(0) = (0-1)(0-2)…(0-2007) = (-1)^2007 * 2007! = -2007!
f'(1) = 1*(1-2)(1-3)…(1-2007) = 1*(-1)^2006*2006! = 2006!

Answer 2

设f(x)=xf0(x) 则f'(x)=f0(x)+xf'0(x)
f'(0)=f0(0)=(-1)(-2)...(-2007)=-2007!
又设f(x)=xf1(x) 则f'(x)=f1(x)+(x-1)f'1(x)
f'(1)=f1(1)=1(-1)(-2)...(-2006)=2006!