Question

设函数f(x)={x平方，x≤1}.{ax+b,x＞1}为了使函数f(x)在x=1处连续且可导，a、b应取什么值

要过程,越详细越好,谢谢

Answer 1

设函数f(x)={x平方，x≤1}，{ax+b,x＞1}，为了使函数f(x)在x=1处连续且可导，a、b应取什么值？

为使函数f(x)在x=1处连续，
x≤1，f(x)=x^2,x=1时，f(1)=1,
x>1, f(x)=ax+b,x从1+方向趋近于1时，f(x）=ax+b 应该趋近于1，
即a+b趋近于1，a+b=1,
“可导”的含义比“连续”的含义更多一层要求：要求在x=1处，x从左边趋近于1的极限（左极限）要求存在、并且等于函数在x=1的值f(1),而且x从右边趋近于1时的极限（右极限）也要求存在、并且等于函数在x=1的值f(1),这样才称得上“函数在x=1处可导”。
为了让左右极限相等、并且等于f(1)的值1，考察左极限在x=1的变化趋势，即f(x)=x^2在x=1处的切线方向，由f'(x)=2x决定。此切线的斜率k=2。
x从右边趋近于1时的极限（右极限）也应该具有斜率k=2的斜率。
当x>1时，f(x)=kx+h,
因为已知 f(x)=ax+b,
则 a=k=2,b=h，f(x)=2x+b,
当x从右边趋近于1时，右极限等于左极限1及f(1)=1,
故 2*1+b=1,
b=-1.
结论：为了使函数f(x)在x=1处连续且可导，a、b应取a=2,b=-1。

Answer 2

连续：1平方=a*1+b
可导：2*1=a(两个表达式y=x平方,y=ax+b求导)