Question

一个数学题

在抛物线y²=4x上恒有两点关于直线y=kx+3对称，求k的取值范围

Answer 1

设B(x1,y1),C(x2,y2)关于直线y=kx+3对称
则BC垂直y=kx+3,所以是x=-ky+m
代入抛物线
y²+4ky-4m=0
设BC中点M(x0,y0)
则y0=(y1+y2)/2=-2k
x0=(x1+x2)/2=[-k(y1+y2)+2m]/2=2k²+m
M在y=kx+3上
所以-2k=k(2k²+m)+3
m=-(2k+3)/k-2k±=(2k³+2k+3)/k
因为BC是不同的两个点
所以y²+4ky-4m=0判别式大于0
16k²+16m>0
把m代入
化简的(k³+2k+3)/k<0
即(k+1)(k²-k+3)/k<0
k²-k+3恒大于0
所以(k+1)/k<0
-1<k<0

Answer 2

由题可知 即求直线y=1/kx+3与抛物线方程y²=4x恒有两交点
联立y²=4x
y=1/kx+3
得y²=4k(y-3)=4ky-12k
始终有解 则（-4k）²-48k>0得k>3或k<0

Answer 3

K=0
只有当k=0时，直线y=3
抛物线y²=4x上才会有两点关于直线y=kx+3对称

Answer 4

第一种方法：直接把直线方程代入曲线方程
联立方程得(k^2)(x^2)+(6k-4)x+9=0
由题意可知上述方程要恒有两个实数根
则第一条件：k≠0（这个条件经常被遗忘）
第二条件：△=（6k-4)^2-4*9*k^2
=36k^2-48k+16-36k^2
=-48k+16>0
得k<1/3
则k<1/3且k≠0
第二种方法：直观法即作图法
已知抛物线y^2=4x是顶点在原点开口向右的曲线，直线y=kx+3是恒过点（0，3）的直线集合
建立直角坐标系画出它们的图像
并画出过（0，3）在第一象限与抛物线相切于一点的直线[此直线很容易求得为y=(1/3)x+3]
由图像易知符号条件的直线应在直线y=(1/3)x+3与y轴所围成的区域内
但要记住所求直线不能与抛物线的对称轴平行

Answer 5

设B、C关于直线y=kx+3对称，直线BC方程为：x=-ky+m代入y²=4x整理得：
y²+4ky-4m=0
设B(x1，y1)，C(x2，y2)，BC中点为M(x0，y0)，则y0=1/2(y1+y2)=-2k，x0=2k²+m，
∵点M(x0，y0)在直线y=kx+3上
∴-2k=k(2k²+m)+3.
∴m=-1/k(2k^3+2k+3)
又∵M(x0，y0)在抛物线y²=4x内部
∴y0²<4x0即(-2k)²<4(2k²+m) k²<2k²-1/k(2k^3+2k+3)，
即(k+1)(k²-k+3)/k<0
解得：-1<k<0