Question

几个高二数学问题（圆锥曲线）(截止11月18日晚

1.设动点P到点A（-1，0）和B（1，0）的距离为m，n，∠APB=2θ，且存在常数λ

（0＜λ＜1），使得m·n·sin²θ=λ.

①证明：P轨迹为双曲线且求C的方程

②过点B作直线交双曲线右焦点于G，H两点，求λ范围使 向量OG·向量OH=0，其中O为原点

2.椭圆X^2／a^2+Y^2／b^2=1（a＞b＞0),离心率e=（根号6）／3，过点A（0，-6）和B（a，0）的直线与原点的距离为（根号3）／2

①求椭圆方程

②已知E（-1，0），若直线y=kx+2(k≠0)与椭圆交于C，D两点，问是否存在k使CD为直径的圆过E点，为什么？

3.设椭圆E：X^2／a^2+Y^2／b^2=1（a＞0，b＞0)，过点M（2，根号2），

N（根号6，1）两点，O为原点

①求E的方程

②是否存在圆心在原点的圆，使该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个焦点，且

向量OA⊥向量OB，若存在，求出该圆的方程，并求出 lABl 取值范围

4.已知双曲线C的方程为Y^2／a^2-X^2／b^2=1（a＞0，b＞0)，e=（根号5）／2，

顶点到渐近线距离为（2倍根号5）／5.

①求C的方程

②P是双曲线上一点，A，B两点在C的两条渐近线上，且分别在一，二象限，若

向量AP=λ向量PB，λ∈[1／3，2]，求三角形AOB范围

5.椭圆中心在坐标原点，焦点在x轴，过左焦点F1直线交于椭圆：P，Q，

且OP⊥OQ，，求e的范围

6.⊿ABC的内切圆与三边AB，BC，AC切点分别为D，E，F。B（负根号2，0）

C（根号2，0），内切圆圆心G（1，t）（t≠0）。设点A轨迹为L

①求L的方程

②过点C作直线L交于M，N两点，问在x轴是否存在异于C点的Q使

（向量QM· 向量QC）／IQMI=（向量QN· 向量QC）／IQNI。对于任意直线m成立，若存在，求Q坐标，若不存在，为什么

（能回答一题是一题，要详细一点的解答，不要只给一个答案，谢谢）

Answer 1

第一题：
1.证明：
在三角形PAB中，对角APB用余弦定理：
cos角APB=[m^2(表示m的平方，以后均是)+n^2-4]/2mn
及cos2θ=1-2(sinθ)^2=上式
化简得 m^2+n^2-4=2mn-4mnsin²θ=2mn-4λ.
(m-n)^2=4-4λ m-n的绝对值=2（根号1-λ）<AB的长度2，满足双曲线的定义。其方程为X^2/(1-λ)+Y^2/λ=1

第五题：
设直线方程为y=k(x+c),与原椭圆方程联立方程组，化简得：
（b^2+a^2* k^2）x^2+2a^2 *k^2 *cx+a^2 *k^2 *c^2-a^2 *b^2=0
则x1+x2和x1*x2可表示出来
因为OP⊥OQ，所以（y1/x1）*(y2/x2)=-1
及 y1y2+x1x2=0
把y=k(x+c)带入化简得：
（k^2 +1）x1x2+k^2 *c(x1+x2)+k^2 *c^2=0
将x1x2,x1+x2带入化简最终得：
（a^2 *c^2 -a^2 *b^2+b^2 *c^2）k^2 =a^2 *b^2
要使上式有解
a^2 *c^2 -a^2 *b^2+b^2 *c^2必须大于0
a^2 *c^2>a^2 *b^2-b^2 *c^2=(a^2-c^2)^2
及ac>a^2-c^2
解该不等式只要两边同除以a^2,把c/a看做未知数即可
解得c/a>(-1+根号5)/2或c/a<(-1-根号5)/2（舍去）
又因为e<1,所以 (-1+根号5)<e<1