Question

帮忙做一道离散数学题目，证明R为等价关系。

设R为N*N上的二元关系，任意<a,b>,<c,d>属于N*N.
<a,b>R<c,d> <=>b=d.
证明R为等价关系。
求商集N*N/R

Answer 1

<a,b>R<c,d> <=>b=d.
那么
1. <a,b>R<a,b> <=>b=b 成立,所以自反性质满足
2. <a,b>R<c,d> <=>b=d; <c,d>R<e,f> <=>d=f
所以 如果 <a,b>R<c,d> , <c,d>R<e,f> 那么 b=d=f
所以 <a,b>R<e,f> ,即传递性质成立
3. <a,b>R<c,d> <=>b=d
那么 <c,d>R<a,b> 也是成立的 因为 d=b成立

所以R是等价关系
这个关系表明,只要后面的b相同就把<a,b>看成一个,跟a无关
所以 <a,b> 相当于后面的b 一个元素

商集N*N/R =N

Answer 2

<a,b>r<c,d>
<=>b=d.
那么
1.
<a,b>r<a,b>
<=>b=b
成立,所以自反性质满足
2.
<a,b>r<c,d>
<=>b=d;
<c,d>r<e,f>
<=>d=f
所以
如果
<a,b>r<c,d>
,
<c,d>r<e,f>
那么
b=d=f
所以
<a,b>r<e,f>
,即传递性质成立
3.
<a,b>r<c,d>
<=>b=d
那么
<c,d>r<a,b>
也是成立的
因为
d=b成立
所以r是等价关系
这个关系表明,只要后面的b相同就把<a,b>看成一个,跟a无关
所以
<a,b>
相当于后面的b
一个元素
商集n*n/r
=n