Question

数学几何证明题！

如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于O，EF⊥BD于O，分别交AD,BC于E,F，且AE=EO=1/2BF.试证明四边形ABCD为矩形。

Answer 1

在三角形AEO与三角形CFO中：OA=OC（平行四边形对角线相互平分）；角EAO=角FCO（两直线平行同位角相等）；角AOE=角COF(对顶角相等）；所以三角形EAO与三角形CFO全等。所以OE=OF=AE=1/2BC.所以OF=1/2BF。又OF⊥BD于O；所以角OAF=30度；由三角形AEO与三角形CFO全等可知OF=FC所以角FCO=角FOC=30度。所以OB=OC；所以AC=BD。所以四边形ABCD为矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）

Answer 2

在PB上取PD=PC。连接AC、BC。
因为A、B、C三点等分圆，所以弧AC=弧AB=弧BC=120度，且弦AP=弦BC。
角CPB=角PCA=60度，角CPA=120度。
角CDB=角CPB+角PCA=120度
在三角形APC和三角形BDC中，
角CPA=角CDB=120度
弦AP=弦BC
角PAC=角PBC
所以三角形PAC全等于三角形PBC，所以对应边AP=BD
于是BP=PD+DB=PC+AP。

Answer 3

证明：
因为四边形ABCD是平行四边形
所以AB//CD（即AM//CN），AB＝CD
因为M、N是AB、CD的中点
所以AM＝CN
所以四边形AMCN是平行四边形
所以AN//MC
所以FD/EF＝DN/NC
因为DN＝NC
所以EF＝FD
同理可证BE＝EF
所以BE＝EF＝FD

Answer 4

如图
连接OM交BC于F点，因为AM本分∠BAC即∠BAM=∠MAC,利用角相等则相对应的弧相等推出，弧BM=弧MC.同样根据定理这两条相等的弧的圆心角也对应相等，即∠BOM=∠MOC.在三角形BOC中，OB=OC(因为都是半径），又因为∠BOF=∠FOC,则OF为一三线合一线，这样可知OF垂直于BC，因为OF=OA,则∠FMA=∠OAM,。。。。。1
（设AM与BC交于D)看三角形ADN与三角形FDN各有一个直角，共一个对顶角，则剩下的一个角也相等，即∠FMD=∠MAC,。。。。。2
根据1，2可得∠OAM＝∠NAM

Answer 5

(1).正方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1垂直于底面ABCD.
因为,体对角线A1C在底面ABCD内的射影AC与BD互相垂直，所以A1C垂直于BD。线段EF是三角形BCD的中位线，平行于BD。故A1C垂直于EF，
同理A1C垂直于FG。EF、FG是相交直线，因此A1C垂直于平面EFG。

(2).设CD中点M,B1C1中点N,因为E是BC中点,G是C1D1中间,所以EMGN是个平行与平面BB1D1D的矩形,那么GE肯定就是平行与平面BB1D1D的

Answer 6

请参照这题做一做
∠APC=135°，理由如下：
由△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，
∵AB=AC，将三角形ABP绕A点顺时针旋转90°，
点B与点C重合，点P到点Q，
∴△ABP≌△ACQ。
∴AP=AQ=4，∠PAQ=90°，
∴∠APQ=45°（1)
三角形CPQ中，
PC=2，PC²=4，
QC=6，QC²=36，
PQ=4√2，PQ²=32，
∴PC²+PQ²=CQ²，
∴最大边CQ所对角∠CPQ=90°（2）
（1）+（2）
∴∠APC=∠APQ+∠CPQ=135°。