Question

2阶常系数线性方程能不能用降阶法求出来

数学帝进来下~如果2阶常系数线性方程能不能用降阶法求出来
比如说
y''-y=0

如果用特征方程算出来 特征根是1和-1
通解是y=C1*e^x+C2*e^(-x)

如果用降阶法 就是设y'=p 然后y''=(dp/dy)*p p=dy/dx
带进去 变成 (dp/dy)*p=y

能不能求出最后答案？

Answer 1

常系数线性微分方程本质上肯定是用降解的办法来解的，关键是要选对变换。
比如你的方程，y''-y=0，
如果令y'-y=p，那么p'=y''-y'，就得到一阶线性方程p'+p=0。
如果令y'+y=p，那么p'=y''+y'，也可以得到一阶线性方程p'-p=0。
这种做法相当于在推导特征值法，如果c是特征方程的根，那么就要选p=y'-cy。
如果按照你的方法做，那么p=y',p'=y''，从而得到方程组
y'=p
p'=y
这种降阶的方式可以化成了一阶的线性方程组，而方程组的解法其实还是特征值法，通过相似变换把系数矩阵简化成标准型之后再求解，和上面讲的方法本质是一样的。

Answer 2

一般的微分方程的阶是无论如何也降不了的。

用状态方程法也仅是貌似降阶。

比如说
y''-y=0
令：x1=y
x1'=x2
x2'=x1''=y''=y=x1

则有：
x1'=x2
x2'=x1

这是两个一阶微分方程。但它们是耦合的。本质上还是一个二阶微分方程。

你能这样大胆的想，就已经很不错了！

Answer 3

如果用降阶法，你得到的还是关于y和p的函数，对于你举的这种不显含x，且降阶之后还是不显含x的方程降阶就是在做等价运算