Question

高难度数学题

16位同学参加数学竞赛，题型为选择题，有A B C D四个选项,其中任何两人至多只有一题答案相同，请问最多有几题？
A 3 B 4 C 5 D 6
请给出必要的过程或建立对应的数学模型

Answer 1

因为任何两人至多只有一题答案相同，所以可知
相同答案的对数的最大数M=C(16,2)=16*15/2=120 对
16个人做一个选择题相同答案对数的最小数，应该是每个答案均有人选，且选每个答案的人数相等的时候，所以
做一个选择题相同答案的对数的最小数N=4*C(4,2)=24 对
所以题目的最大量 T=120/24=5
选 C

关于“每个答案均有人选，且选每个答案的人数相等的时候，做一个选择题相同答案对数最少”的证明：
证明：设选A,B,C,D的人数分别为a,b,c,d
由题意知 a+b+c+d=16
相同答案的对数T=C(a,2)+C(b,2)+C(c,2)+C(d,2)
=[a*(a-1)+b*(b-1)+c*(c-1)+d*(d-1)]/2
=(a^2+b^2+c^2+d^2-a-b-c-d)/2
=(a^2+b^2+c^2+d^2-16)/2
=(a^2+b^2+c^2+d^2)/2-8
因为 a^2+b^2+c^2+d^2<=(a+b+c+d)^2/4=64
a=b=c=d时，等号成立。
所以 T<=64/2-8=24，当T取最大值时
a=b=c=d=4
故原命题得证

Answer 2

别被题目搞晕了，这个题有意在欲盖弥彰，对于1道题来说，两个人的答案一样的概率是1/4(16种可能性中有4种答案相同)，那么题目越多，两人的共同点就可能越多，当在4道题以上时，两人有1题答案相同的可能性极大(用期望来思考E=np->E=4*1/4=1)。当在8道题以上时，两人有2题相同的可能性极大。

所以我认为这题和多少人参加比赛无关，可以选D 6道题。

Answer 3

楼上的一定喝大了……这个题可以做集训队训练用
这个题就是一个典型的整体估计的组合最值问题……
需要做一个集合关系表
然后算两次，用一下柯西不等式放缩……
如果需要，再问我

Answer 4

A

Answer 5

D

Answer 6

b