Question

一道数学积分题求解

求(xe^x)/(1+x)^2的不定积分

Answer 1

解：∵原式=∫(1+x-1)e^xdx/(1+x)²
=∫e^xdx/(1+x)-∫e^xdx/(1+x)²
又∫e^xdx/(1+x)²
=-e^x/(1+x)+∫e^xdx/(1+x) (应用分部积分法)
∴原式=∫e^xdx/(1+x)-[-e^x/(1+x)+∫e^xdx/(1+x)]
=∫e^xdx/(1+x)+e^x/(1+x)-∫e^xdx/(1+x)
=e^x/(1+x).

Answer 2

∫（xe^x)/(1+x)^2dx=分部积分
∫（（x+1）e^x)/(1+x)^2dx-∫e^x/(1+x)^2dx关键是拆开xe^x为（（x+1）-1）e^x加一减一
=1/2∫e^xdln(1+x)^2-∫e^x/(1+x)^2dx=1/2e^xln(1+x)^2-∫ln(1+x)de^x-∫e^x/(1+x)^2dx=1/2e^xln(1+x)^2-e^xln(1+x)+∫1/(1+x)de^x-∫e^x/(1+x)^2dx=1/2e^xln(1+x)^2-e^xln(1+x)+e^x/(1+x)+∫e^x/(1+x)^2dx-∫e^x/(1+x)^2dx

∫e^x/(1+x)^2dx可以前后约掉