Question

已知函数f(x)是定义在R的增函数,若对于任意x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y),且x大于0

1 判断函数奇偶性 2 判断函数在f(x)上增函数，还是减函数，并证明你的结论 。要有思路和详解 好的话再加50分

Answer 1

1
不妨取x=y=0
f(0)=2(0)
所以f(0)=0
不妨取y=-x
f(x)+f(-x)=f(0)=0 奇函数

2
增函数啊
证明？
已知不是给出了f(x)增函数么？

Answer 2

（1）由题意，令x=y=0.===>f(0)=f(x+y)=f(0)+f(0).===>f(0)=0.再令x+y=0.===>0=f(0)=f(x+y)=f(x)+f(y)=f(x)+f(-x).===>f(x)+f(-x)=0.===>f(-x)=-f(x).===>函数f(x)是奇函数。（2）设x1<x2,===>x2-x1>0.f(x2-x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2)-f(x1).===>f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)>0.===>f(x1)<f(x2).===>f(x)是增函数。