Question

已知a>b>c且a+b+c=0，求证：根号（b^2-ac）<（根号3）*a

b^2-ac是在根号里，右边3在根号里，a在根号外

急求详解，谢谢

Answer 1

a > b > c，因此(a-b)(a-c) > 0
b = -(a + c)代入得
(2a + c)(a - c) > 0 即
2a^2 - ac - c^2 > 0 从而
a^2 + ac + c^2 < 3a^2 (1)
a^2 + ac + c^2 = (a+c/2)^2 + (3c^2)/4 ≥ 0
(1)式两边开方得
√(a^2 + ac + c^2) < |a|√3 = a√3 (显然a > 0，否则a+b+c < 0)
即√[(a+c)^2 - ac] < a√3
因此√(b^2 - ac) < a√3

得证

Answer 2

两边平方，即b^2-ac＜3a^2,然后代入c=-a-b,
即证b^2-a(-a-b)＜3a^2,即2a^2-ab-b^2＞0
等价于(2a+b)(a-b)＞0,而a+b=-c
等价于(a-c)(a-b)＞0成立
故√(b^2-ac)＜√3a成立

Answer 3

最好用反证法 要证√(b^2-ac)/a<√3
只要证(b^2-ac)/a^2<3
只要b^2-ac<3a^2
只要(a+c)^2-ac<3a^2
只要证a^2+2ac+c^2-ac-3a^2<0
只要证2a^2-ac-c^2>0
只要证(a-c)(2a+c)>0(十字相乘法)
由题得a-c>0
2a+c=(a+c)+a=a-b>0
所以(a-c)(2a+c)>0成立
所以问题得证

Answer 4

a+b+c
=
0有
a=
-b
-c,
a>b>c，所以
a>0,
c
=0
b^2
-ac=b^2-(-b-c)*c
=
b^2+bc
+c^2<=b^2+bc+c^2
+
bc
=
(b+c肠龚斑夹职蝗办伟暴连)^2
=
a^2
√(b^2-ac)/a<=a/a=1<√3
证毕