Question

高一数学函数题目解答？

一：已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(x)+g(x)=1/(2x+1)
求f(x)、g(x)的解析式
二：设f(x)是任意一个函数，且定义域关于原点对称。求证：f(x)一定可以表示成一个奇函数与一个偶函数的和。
三：①已知f(x)是奇函数，定义域是D,g(x)是偶函数，定义域也是D,
设F(x)=f(x)g(x)，判断函数F(x)的奇偶性。
②已知f(x),g(x)的定义域都是D，若F(x)=f(x)g(x)是偶函数，研究f(x)和
g(x)的奇偶性.

Answer 1

1、
f(-x)=-f(x)
g(-x)=g(x)
令h(x)=f(x)+g(x)=1/(2x+1) (1)
h(-x)=f(-x)+g(-x)=-f(x)+g(x)=1/(-2x+1)(2)
(1)+(2)
2g(x)=1/(2x+1)+1/(-2x+1)=2/(1-4x²)
g(x)=1/(1-4x²)
f(x)=h(x)-g(x)=-2x/(1-4x²)

2、
令h(x)=[f(x)+f(-x)]/2
g(x)=[f(x)-f(-x)]/2
则f(x)=h(x)+g(x)
h(-x)=[f(-x)+f(x)]/2=h(x)
g(-x)=[f(-x)-f(x)]/2=-g(x)
所以g(x)是奇函数，h(x)是偶函数
所以f(x)一定可以表示成一个奇函数与一个偶函数的和。

3、
(1)
F(-x)=f(-x)g(-x)=-f(x)g(x)=-F(x)
所以F(x)是奇函数

(2)
F(x)=f(x)g(x)是偶函数
F(-x)=f(-x)g(-x)=F(x)=f(x)g(x)
则可能是f(x)=f(-x),g(x)=g(-x)
也可能是-f(x)=f(-x),-g(x)=g(-x)
所以f(x)和g(x)都是奇函数或都是偶函数

还可能是
比如f(x)=1+x
g(x)=1-x
则F(x)=(1+x)(1-x)
F(-x)=(1-x)(1+x), 是偶函数
则f(x)和g(x)都是非奇非偶函数
所以f(x)和g(x)的奇偶性相同

Answer 2

1.h(x)=f(x)+g(x)=1/(2x+1)----(1)
h(-x)=f(-x)+g(-x)=1/(-2x+1)----(2)
f(x)=-f(x),g(x)=g(-x)
(1)+(2)得g(x)=-2/(4x^2-1)
(1)-(2)得f(x)=2x/(4x^2-1)

Answer 3

1,可得，f(-x)+g(-x)=1/(-2x+1)=-f(x)+g(x),
用此式加已知式得 2g(x)=1/(2x+1)+1/(-2x+1)
g(x)=1/(1-4x^2)
所以f(x)=(-2x)/(1-4x^2)