Question

确定a,b的值，使得当x→0时，f(x)=x-(a+bcosx)sinx成为x^5的同价无穷小量

Answer 1

分别将cosx与sinx在0点泰勒展开。
因为只要考虑x^5的同阶无穷小量，根据原式，我们只需作如下近似展开：
cosx=1-x^2/2+x^4/24+o(x^4)
sinx=x-x^3/6+x^5/120+o(x^5)
代入原式，我们有
f(x)=x-[a+b(1-x^2/2+x^4/24+o(x^4))]*[x-x^3/6+x^5/120+o(x^5)]
=(1-a-b)*x - (a/6 + 2b/3)*x^3 + (a/120 + 2b/15)*x^5 + o(x^5)

所以，1-a-b=0，a/6 + 2b/3=0，a/120 + 2b/15≠0。
解得，a=4/3，b=-1/3。