Question

f x的定义域为0，+∞，且满足f（xy）=f（x）+f（y），当x〉1时，f（x）〈0

f x的定义域为0，+∞，且满足f（xy）=f（x）+f（y），当x〉1时，f（x）〈0，
（1）求证当0〈x〈1时，f（x）〉0
（2）求证f（x）为减函数
我要详细步骤

Answer 1

设x>1 0<y=1/x<1
则f(xy)=f(x)+f(y) → f(1)=f(x)+f(1/x) → f(1/x)=f(1)-f(x)
∵ 当x>1时，f(x)<0
∴ f(1/x)=f(1)-f(x)>0
设0<x1<x2
且x1=k*y1(y1不一定是整数) ,x2=k*y2(y2也不一定是整数）
则 f(x1)-f(x2)=f(k)+f(y1)-f(k)-f(y2)=f(y1)-f(y2)
.....
这么分下去，就一定会分到 z1<1<z2
又因为 f(z1)-f(z2)>0
所以 f(x1)>f(x2)
所以 f(x)是减函数

Answer 2

f(x)=-kln(x)
很容易证明0<x<1时，f(x)>0和f(x)是减函数

Answer 3

f(x)=-kln(x)
所以0<x<1时，f(x)>0和f(x)是减函数