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仅有1组解-1和-16.
x^2+px+q^4=0有整数解,则由方程根与系数的关系可知两根均为整数且两根之和为-p,两根之乘积为q^4,故两根只能是-1与-q^4,-q与-q^3或-q^2与-q^2.另一方面由两根之和的绝对值为p是质数.由于q+q^3=q(q^2+1),q^2+q^2=2q^2均不是质数,故两根只能是1与q^4,要使q^4+1也为质数, q只能是偶数,又q是质数,故q=2,此时q^4+1=17也是质数. 故该方程只有当p=17,q=2时,方程x^2+17x+2^4=0有整数解-1和-16.
x^2+px+q^4=0有整数解,则由方程根与系数的关系可知两根均为整数且两根之和为-p,两根之乘积为q^4,故两根只能是-1与-q^4,-q与-q^3或-q^2与-q^2.另一方面由两根之和的绝对值为p是质数.由于q+q^3=q(q^2+1),q^2+q^2=2q^2均不是质数,故两根只能是1与q^4,要使q^4+1也为质数, q只能是偶数,又q是质数,故q=2,此时q^4+1=17也是质数. 故该方程只有当p=17,q=2时,方程x^2+17x+2^4=0有整数解-1和-16.
参考资料： bd
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