Question

证明：当a+b+c=3，a、b、c≥0时，根号a+根号b+根号c>=ab+ac+bc

证明：当a+b+c=3，a、b、c≥0时，根号a+根号b+根号c>=ab+ac+bc

Answer 1

法1
切线法
下证:a^2-3a+2(a)^0.5>=0,设t=(a)^0.5
即证明t*(t-1)^2*(t+2)>=0,显然。
故a^2+2(a)^0.5>=3a,b^2+2(b)^0.5>=3b,c^2+2(c)^0.5>=3c.
相加得2((a)^0.5+(b)^0.5+(c)^0.5)>=9-(a^2+b^2+c^2)
即根号a+根号b+根号c≥ab+bc+ac

法2
用柯西不等式,

Answer 2

法1
切线法
下证:a^2-3a+2(a)^0.5>=0,设t=(a)^0.5
即证明t*(t-1)^2*(t+2)>=0,显然。
故a^2+2(a)^0.5>=3a,b^2+2(b)^0.5>=3b,c^2+2(c)^0.5>=3c.
相加得2((a)^0.5+(b)^0.5+(c)^0.5)>=9-(a^2+b^2+c^2)
即根号a+根号b+根号c≥ab+bc+ac

法二
用柯西不等式

Answer 3

这题最关键的就是：不要把问题想复杂！！
sqrta+sqrta+a^2>=3a
2(sqrta+sqrtb+sqrtc)>=(a+b+c）^2-a^2-b^2-c^2=2（ab+bc+ca）
此为 RUSSIA 2002
可推广到：a、b、c>0，求证(√a+√b+√c)^2·(a+b+c)^3≥27(ab+bc+ca)^2。
（当a+b+c=3时就是上面要证明的不等式)
sqrt即为根号

Answer 4

法1
切线法
下证:a^2-3a+2(a)^0.5>=0,设t=(a)^0.5
即证明t*(t-1)^2*(t+2)>=0,显然。
故a^2+2(a)^0.5>=3a,b^2+2(b)^0.5>=3b,c^2+2(c)^0.5>=3c.
相加得2((a)^0.5+(b)^0.5+(c)^0.5)>=9-(a^2+b^2+c^2)
即根号a+根号b+根号c≥ab+bc+ac

法2
用柯西不等式
sqrta+sqrta+a^2>=3a
2(sqrta+sqrtb+sqrtc)>=(a+b+c）^2-a^2-b^2-c^2=2（ab+bc+ca）
此为 RUSSIA 2002
可推广到：a、b、c>0，求证(√a+√b+√c)^2·(a+b+c)^3≥27(ab+bc+ca)^2。
（当a+b+c=3时就是上面要证明的不等式)
sqrt即为根号
嘿嘿~综合一下~不要骂偶~~~~~~~~