Question

高一数学必修一试题

用定义证明：f(x)=x+1/x 在[0,＋∞)上是增函数？？

Answer 1

设x1<x2,则f(x1)-f(x2)=x1+a/x1-(x2+a/x2)=(x1-x2)+a(x2-x1)/(x1x2)=(x1-x2)(x1x2-a)/(x1x2)
下面分情况讨论
(1)当x1<x2<-根号a时，x1-x2<0,x1x2-a>0,x1x2>0,所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2)，所以函数在(-∞,根号a)上是增函数
(2)当-根号a<x1<x2<0时，x1-x2<0,x1x2-a<0,x1x2>0,所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2)，所以函数在(-根号a,0)上是减函数
(3)当0<x1<x2<根号a时，x1-x2<0,x1x2-a<0,x1x2>0,所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2)，所以函数在(0，根号a)上是减函数
（4）当根号a<x1<x2时，x1-x2<0,x1x2-a>0,x1x2>0,所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2)，所以函数在(根号a，+∞)上是增函数

Answer 2

题目错了，首先定义域是（-∞，0）并（0，+∞）
这shi一个打钩函数

当x>0时，f(x)=ax+b/x有最小值；当x<0时，f(x)=ax+b/x有最大值
f(x)=x+1/x
首先你要知道他的定义域是x不等于0
当x>0,
由均值不等式有：
f(x)=x+1/x>=2根号（x*1/x)=2
当x=1/x取等
x=1,有最小值是：2，没有最大值。
当x<0,-x>0
f(x)=-(-x-1/x)
<=-2
当－x=-1/x取等。
x=-1,有最大值，没有最小值。
值域是：（负无穷，0）并（0，正无穷）
－－－－－－－－－－－－－－
重点（窍门）：
其实对勾函数的一般形式是：
f(x)=x+k/x(k>0)

定义域是:{x|x不等于0}
值域是：{y|y不等于0}
当x>0,有x=根号k,有最小值是2根号k
当x<0,有x=-根号k,有最大值是：－2根号k
打钩函数的解析式为y=x+a/x(其中a>0),它的单调性讨论如下：
设x1<x2,则f(x1)-f(x2)=x1+a/x1-(x2+a/x2)=(x1-x2)+a(x2-x1)/(x1x2)=(x1-x2)(x1x2-a)/(x1x2)
下面分情况讨论
(1)当x1<x2<-根号a时，x1-x2<0,x1x2-a>0,x1x2>0,所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2)，所以函数在(-∞,根号a)上是增函数
(2)当-根号a<x1<x2<0时，x1-x2<0,x1x2-a<0,x1x2>0,所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2)，所以函数在(-根号a,0)上是减函数
(3)当0<x1<x2<根号a时，x1-x2<0,x1x2-a<0,x1x2>0,所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2)，所以函数在(0，根号a)上是减函数
（4）当根号a<x1<x2时，x1-x2<0,x1x2-a>0,x1x2>0,所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2)，所以函数在(根号a，+∞)上是增函数
定义域为(0,+∞)∪(-∞,0)
由函数的单调性可得其值域为(-∞,-2根号a)∪(2根号a,+∞)
解题时常利用此函数的单调性求最大值与最小值。

Answer 3

题目打错了吧，应该是证减函数啊！
设在[o,+∞)上有X1、X2，且X1<X2。
f(X1)-f(X2)=X1+1/X1-(X2+1/X2)
=X1X2+X2/X1X2-(X1X2+X1/X1X2)
=X1X2+X2-(X1X2+X1)/X1X2
=X2-X1/X1X2
∵X1、X2在[0,+∞）上 ∴X1X2>0
∵X1<X2 ∴X2-X1>0
即：X2-X1/X1X2>0
∴f(x)=x+1/x在[0,+∞)上是减函数

Answer 4

先设取X1,x2在[0,＋∞)上，再算f(X1)-f(X2)得出X1＜X2
所以为增函数

Answer 5

答案错了----
解：
设0≤x1<x2
f(x1)-f(x2)=x1-x2+1/x1-1/x2
=x1-x2+(x2-x1)/x1x2
=x1-x2-(x1-x2)/x1x2
=(x1x2-1)(x1-x2)/x1x2
所以0＜x＜1时减函数
x>1时增函数