Question

已知过点A（0,1),且方向向量为a=（1，k)的直线l与圆C：(x-2)^2+(y-3)^2=1.

已知过点A（0,1),且方向向量为a=（1，k)的直线l与圆C：(x-2)^2+(y-3)^2=1.相交与M,N两点，（1）求证向量AM*向量AN=定值（2）若O为坐标原点，且向量OM*向量ON=12.求k的值

Answer 1

1.只要求出在极限情况，即相切时K的值为多少即可
可设直线l的方程为y=kx+1，与圆的方程联立得
K=（4-√7）/3或K=（4+√7）/3
所以，（4-√7）/3＜K＜（4+√7）/3
2.AMN是圆O的割线，依据切割线定理，AM*AN=切线长的平方=7
3.依据第一问所设的直线方程，可以设M点的坐标为（x1,
kx1+1),N点坐标为（x2,kx2+1),分别代入圆的方程可得
(k^2+1)x1^2-(4k+4)x1+7=0
(k^2+1)x2^2-(4k+4)x2+7=0
可知x1、x2是方程(k^2+1)x^2-(4k+4)x+7=0的两个根
所以，x1+x2=(4k+4)/(k^2+1),x1*x2=7/(k^2+1)
由于OM*ON=12，即x1*x2+(kx1+1)*(kx2+1)=
(k^2+1)x1*x2+k(x1+x2)+1=12
代入，得k=1