Question

设曲线y=ax平方与y=lnx相切，求a?

请各位前辈指点，并列出步骤，谢谢！

Answer 1

假设切点是A(m,n)
则他在两个函数上
n=am²
n=lnm
所以am²=lnm

且此处两个切线是同一条，所以斜率相等
即导数相等
y=ax²，y'=2ax
y=lnx,y'=1/x
x=m
所以2am=1/m，
am²=1/2
代入am²=lnm
lnm=1/2
m=e^(1/2)=√e
所以a=1/2m²=1/(2e)

Answer 2

共切线，则
(ax^2)'=(lnx)'
2ax=1/x
x=√(1/(2a))
代入y=ax^2得y=1/2再代入y=lnx得x=e^(1/2),则切点为（e^(1/2),1/2）
将切点为（e^(1/2),1/2）代入y=ax^2得
a=1/(2e)