Question

如图,ABCD为空间四边形,点E,F分别是AB,BC的中点,点G,H分别在CD,AD上

如图,ABCD为空间四边形,点E,F分别是AB,BC的中点,点G,H分别在CD,AD上，且DH=1/3AD,DG1/3CD。求证：直线EH，FG必相交于一点，且这个交点在直线BD上。 本题图片地址：

Answer 1

我发一个图片，可能会比较慢

Answer 2

∵EF是三角形ABC的中位线，
∴EF‖AC，且EF=AC/2，
∵DH/AD=1/3，DG/CD=1/3，
∴在三角形ACD中，DH/AD=DG/CD，HG‖AC，且HG=AC/3，
∴HG‖EF，HG/EF=（AC/3）/（AC/2）=2/3，
∴E、F、G、H四边在同一平面，且EH与FG不平行，
设EH和FG相交于O点，
∵HG‖EF
∴△OHG∽△OEF，
HG/EF=HO/EO=2/3，
取BD的中点J，连结EJ，FJ，
EJ是三角形ABD的中位线，EJ‖AD，EJ=AB/2，HD=AC/3，HD/EJ=2/3，
在平面ABD中，延长EH与BD延长线交于O’点，
同理△O’HD∽△O’ED，
HO’/EO’=HD/EJ=2/3，
HO’/EO’=HO/EO，
EO'/HO'=EO/HO,(反比），
（EO'-HO')/HO'=(EO-HO)/HO,(分比）,
EH/HO'=EH/HO,
HO'=HO,
O和O’重合，
同理可证FG延长与BD延长线交于O”点与O重合，
∴直线EH，FG必相交于一点，且这个交点在直线BD上。

Answer 3

延伸EH，FG，BD，使EH交BD于P，FG交BD于P'

取AD & CD中点M & N，连接EM & FN，使其分别成为△ABD & △CBD中位线。

因为EM为△ABD中位线，所以 EM = BD/2 & EM ∥BD

因为M为AD中点，DH = 1/3AD，所以 DH : MH = 2 : 1

因为EM ∥BD，所以∠1 = ∠2

因为∠1 = ∠2，∠3 = ∠4(对顶角)，因此△EMH ∽ △DPH

因此PD : EM = DH : MH = 2 : 1

=> PD = 2EM = BD

同理，P'D = 2FN = BD

因此，PD = P'D => P & P'共点。

所以，EH & FG & BD三条直线相交一点

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发完，采纳了一个无图无真相..........= = 写半天不知道为了啥！

Answer 4

1)连ac,bd
∵efgh是中点
∴eh∥bd,eh=bd/2,fg∥bd,fg=bd/2,ef∥ac,ef=ac/2
∴eh∥fg,eh=fg
∴efgh是平行四边形(有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)
2)若efgh是正方形,则ef=eh,且ef⊥eh
∵ef=ac/2,eh=bd/2,ef∥ac,eh∥bd
∴ac/2=bd/2,
ac⊥bd
∴ac=bd
综上,ac=bd,且ac⊥bd