Question

导数是什么？

本人没上过高中，现在大学学习高数很累。对于导数，实在不理解，请各位老师给我浅显的讲出它的意义，谢谢！

Answer 1

导数亦名纪数、微商，由速度变化问题和曲线的切线问题而抽象出来的数学概念。又称变化率。
如一辆汽车在10小时内走了 600千米，它的平均速度是60千米／小时，但在实际行驶过程中，是有快慢变化的，不都是60千米／小时。为了较好地反映汽车在行驶过程中的快慢变化情况，可以缩短时间间隔，设汽车所在位置s与时间t的关系为s＝f（t），那么汽车在由时刻t0变到t1这段时间内的平均速度是[f(t1)-f(t0)]/[t1-t0]，当 t1与t0很接近时，汽车行驶的快慢变化就不会很大，平均速度就能较好地反映汽车在t0 到 t1这段时间内的运动变化情况 ，自然就把极限[f(t1)-f(t0)]/[t1-t0] 作为汽车在时刻t0的瞬时速度，这就是通常所说的速度。一般地，假设一元函数 y＝f(x )在 x0点的附近(x0－a ，x0 ＋a)内有定义，当自变量的增量Δx＝ x－x0→0时函数增量 Δy＝f（x）－ f（x0）与自变量增量之比的极限存在且有限，就说函数f在x0点可导，称之为f在x0点的导数（或变化率)。若函数f在区间I 的每一点都可导，便得到一个以I为定义域的新函数，记作 f'，称之为f的导函数，简称为导数。函数y＝f（x）在x0点的导数f'（x0）的几何意义：表示曲线l 在P0〔x0，f（x0）〕 点的切线斜率。一般地，我们得出用函数的导数来判断函数的增减性的法则：设y＝f(x )在（a，b）内可导。如果在（a，b）内，f'（x）>0,则f（x）在这个区间是单调增加的。。如果在（a，b）内，f'（x）<0,则f（x）在这个区间是单调减小的。所以，当f'（x）=0时，y＝f(x )有极大值或极小值，极大值中最大者是最大值，极小值中最小者是最小值。
导数的几何意义是该函数曲线在这一点上的切线斜率。
导数定义为：当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量之商的极限。在一个函数存在导数时，称这个函数可导或者可微分。可导的函数一定连续。不连续的函数一定不可导。
导数另一个定义：当x=x0时，f‘(x0)是一个确定的数。这样，当x变化时，f'(x)便是x的一个函数，我们称他为f(x)的导函数（derivative function）（简称导数）。
y=f(x)的导数有时也记作y'，即 f'(x)=y'=lim⊿x→0[f(x+⊿x)-f(x)]/⊿x
物理学、几何学、经济学等学科中的一些重要概念都可以用导数来表示。如，导数可以表示运动物体的瞬时速度和加速度、可以表示曲线在一点的斜率、还可以表示经济学中的边际和弹性。
以上说的经典导数定义可以认为是反映局部欧氏空间的函数变化。 为了研究更一般的流形上的向量丛截面（比如切向量场）的变化，导数的概念被推广为所谓的“联络”。 有了联络，人们就可以研究大范围的几何问题，这是微分几何与物理中最重要的基础概念之一。
注意：1.f'(x)<0是f(x)为减函数的充分不必要条件，不是充要条件。
2.导数为零的点不一定是极值点。当函数为常值函数，没有增减性，即没有极值点。但导数为零。（导数为零的点称之为驻点，如果驻点两侧的导数的符号相反，则该点为极值点，否则为一般的驻点，如y=x^3中f‘(0)=0，x=0的左右导数符号为正，该点为一般驻点。）

Answer 2

不要被吓住！

导数的根本思想：【对割线的斜率取斜率，过渡到切线的斜率】

导数的定义运算：【y增量比x增量，取极限】

解释：

让x变化一个小小的量，称为Δx, Δx = x₂- x₁，也就是x从x₁变到x₂;

y就变化一个小小的量，称为Δy, Δy = y₂- y₁，也就是y从y₁变到y₂;

Δy/Δx是割线的斜率。

Δx越小，Δy也越小，可是Δy/Δx这个比值却不一定变小，很可能是一个常数。

当Δx→0时，割线→切线，割线的斜率(Δy/Δx)→切线的斜率(dy/dx)

dy,dx中的d表示的就是无穷小，就是Δ→0的意思。

以上就是导数的思想和方法。

因为自然界、科技上的很多量与量之间是函数关系，一个量的变化引起另一个量的变化，导数就提供了它们变化率之间的关系。

dy/dx ：就是空间变化率；
dx/dt,dy/dt,dz/dt ：就是时间变化率。

dy/dx 就叫做导数，就叫做y对x求导。
dx,dy 就叫做微分，导数=微商(这样称呼的老先生们又很多很多)。

有问题，Hi我。导数不难，很容易学！

Don't worry! Take easy!

Answer 3

Answer 4

通俗讲就是变化率，函数值随自变量改变的程度

Answer 5

我是这么认为的
每个函数不都有它的图形吗？ 那个图形上的某个点的斜率=导数！ 不知道这样是不是对