Question

已知椭圆4x^2+y^2=1及直线y=x+m

已知椭圆4x^2+y^2=1及直线y=x+m,(1)当直线与椭圆有公共点时,求m的去值范围
(2)求椭圆被直线截得的弦长的值及此时直线的方程

Answer 1

（1）y=x+m代入4x^2+y^2=1得
5x^2+2mx+m^2-1=0
有公共点则方程有解
所以4m^2-20(m^2-1)>=0
即 m^2<=5/4
-√5/2<=m<=√5/2

（2）
5x^2+2mx+m^2-1=0
x1+x2=-2m/5,x1x2=(m^2-1)/5
(x1-x2)^2=(x1+x2)^2-4x1x2=(-16m^2+20)/25
y=x+m
所以(y1-y2)=[(x1+m)-(x2+m)]^2=(x1-x2)^2
所以弦AB^2=(x1-x2)^2+(y1-y2)^2=2(x1-x2)^2=(-32m^2+40)/25
显然m=0，(-32m^2+40)/25最大
所以y=x

Answer 2

(1)
说明方程　4x^2+(x+m)^2=1，
即　5x^2+2mx+m^2-1=0有实数解，
所以　(2m)^2-20(m^2-1)≥0，
化简得　4m^2≤5，
即　-√5/2≤m≤√5/2。
(2)设两个交点的横坐标分别为x(1)和x(2)，根据韦达定理有
x(1)+x(2)=-(2m)/5　和　x(1)x(2)=(m^2-1)/5。
所以　L^2=[|x(2)-x(1)|^2+|y(2)-y(1)|^2]
=2|x(2)-x(1)|^2
=2[|x(1)+x(2)|^2-4x(1)x(2)]
=2[4m^2/25-4(m^2-1)/5]
=8[5-4m^2]/25≤8/5。
当m=0时，L有最大值(2√10)/5，
即被椭圆截得的最长弦所在直线方程为　y=x。

Answer 3

（1）y=x+m代入4x^2+y^2=1得
5x^2+2mx+m^2-1=0
有公共点则方程有解
所以4m^2-20(m^2-1)>=0
即
m^2<=5/4
-√5/2<=m<=√5/2
（2）
5x^2+2mx+m^2-1=0
x1+x2=-2m/5,x1x2=(m^2-1)/5
(x1-x2)^2=(x1+x2)^2-4x1x2=(-16m^2+20)/25
y=x+m
所以(y1-y2)=[(x1+m)-(x2+m)]^2=(x1-x2)^2
所以弦AB^2=(x1-x2)^2+(y1-y2)^2=2(x1-x2)^2=(-32m^2+40)/25
显然m=0，(-32m^2+40)/25最大
所以y=x