Question

数学题目，在线等，很急！！！

1.已知0<a≤1,0<b≤1,0<c≤1,求证(1+ab+bc+ca)/(a+b+c+abc)≥1
2.已知0＜x＜1/y，求证（y-y2）＜1/（x+1）
3.已知│a│＜1,│b│＜1,求证：│（a+b）/（1+ab）│＜1
4.已知a＞b＞0,且2c＞a+b,求证:c+根号(c2-ab)＜a＜c+根号（c2-ab)

请用分析法来做
写出一道也可以答哦~~

Answer 1

1.因为1+ab+ac+bc>0
则a+b+c+abc-1-ab-ac-cb
=a(1+bc)-(1+bc)+(b+c)-(b+c)
=(a-1)(1+bc)+(a-1)(b+c)
=(a-1)(1+bc+b+c)
因为a-1<=0,1+bc+b+c>0
所以a+b+c+abc-1-ab-ac-cb<=0
即1+ab+ac+cb>=a+b+c+abc
所以(1+ab+bc+ca)/(a+b+c+abc)≥1
2.0<x<1/y
1<x+1<(y+1)/y
1/x+1>y/(y+1)
y-（y^2)<1/(x+1)
则证y/(y+1)>y-y^2
由于y>0
则证1/(y+1)>1-y
1/(y+1)+y-1>0
1/(y+1)+(y+1)-2>0
根据基本不等式
1/(y+1)+(y+1)>=2
y不等于0
1/(y+1)不等于y+1
所以1/(y+1)+(y+1)-2>0
3.a|＜1，|b|＜1，故a^2＜1,b^2＜1
所以a^2-1＜0,b^2-1＜0
所以 （a^2-1）（b^2-1）>0
得：(ab)^2+1>a^2+b^2
(ab)^2+1+2ab>a^2+b^2+2ab
即(ab+1)^2>(a+b)^2
所以|ab+1|>|a+b|
故|(a+b)/(1+ab)|<1
4.要证：c-√c2-ab<a<c+√c2-ab
只要证:-√c2-ab<a-c<√c2-ab
即证|a-c|＜√c2-ab
又a+b<2c,
故a(a+b)<2ac
a^2+ab<2ac
a^2-2ac<-ab
a^2-2ac+c^2<c^2-ab
(a-c)^2<c^2-ab可得|a-c|＜√c2-ab
所以:-√c2-ab<a-c<√c2-ab
所以c-√c2-ab<a<c+√c2-ab
得证