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证明：数学归纳法
n=1,左边=1*2=2 右边=1*(1+1)(1+2)/3=2
假设n=k成立，即
1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+k(k+1)=k(k+1)(k+2)/3
当n=k+1时
1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+k(k+1）+（k+1）（k+2)
=k(k+1)(k+2)/3+（k+1）（k+2)
=(k+1)(k+2)(k/3+1)
=(k+1)(k+2)(k+3)/3
所以命题成立。
故1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3
n=1,左边=1*2=2 右边=1*(1+1)(1+2)/3=2
假设n=k成立，即
1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+k(k+1)=k(k+1)(k+2)/3
当n=k+1时
1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+k(k+1）+（k+1）（k+2)
=k(k+1)(k+2)/3+（k+1）（k+2)
=(k+1)(k+2)(k/3+1)
=(k+1)(k+2)(k+3)/3
所以命题成立。
故1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3
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方法一：如金龙QSZ所证；
方法二：1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=(1^2+2^2+…+n^2)+(1+2+…+n)=n(n+1)(2n+1)/6+n(n+1)/2=n(n+1)(n+2)/3
方法二：1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=(1^2+2^2+…+n^2)+(1+2+…+n)=n(n+1)(2n+1)/6+n(n+1)/2=n(n+1)(n+2)/3
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