Question

椭圆的简单几何性质

已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点的距离的最大值为3，最小值为1，若直线l：y=kx+m与椭圆C相交于A,B两点（A,B不是左、右顶点），且以AB为直径的圆恰好过椭圆的右顶点。求证：直线l过定点。试求出该定点的坐标。

Answer 1

椭圆C上的点到焦点的距离的最大值为3，最小值为1
2c=3-1=2
c=1
a-c=1,a=2
b^2=a^2-c^2=3
椭圆方程：x^2/4+y^2/3=1

以AB为直径的圆恰好过椭圆的右顶点C(2,0),则：AC⊥BC
设A(x1,y1),B(x2,y2),则：(x1-2)(x2-2)+y1y2=0
把：y=kx+m代人：x^2/4+y^2/3=1得：
3x^2+4(kx+m)^2=12
(3+4k^2)x^2+8kmx+(4m^2-12)=0
x1+x2=-8mk/(3+4k^2),x1x2=(4m^2-12)/(3+4k^2)
y1y2=k^2x1x2+km(x1+x2)+m^2=(3m^2-12k^2)/(3+4k^2)
所以：
(x1-2)(x2-2)+y1y2
=x1x2-2(x1+x2)+4+y1y2
=(7m^2+16mk+4k^2)/(3+4k^2)
=(7m+2k)(m+2k)/(3+4k^2)
=0
m=-2k,或，m=-2k/7
所以，y=kx-2k=k(x-2),直线过定点：(2,0)
或，y=kx-2k/7=k(x-2/7),直线过定点：(2/7,0)

Answer 2

长轴在x轴上,离心率e=c/a=二分之根号三
设a=2t，由c/a=二分之根号三，得c=√3t
算得b=t
故设椭圆方程为X^2/4t^2+Y^2/t^2=1
由于点（0，3/2）到这个椭圆上的点的最远距离是根号七，有椭圆性质得，Y轴上的点到长轴在X轴上的椭圆上的点的最长距离是到左右顶点的距离
则根据勾股定理，有（3/2）^2+4t^2=（√7）^2
解的t^2=19/16
所以所求椭圆方程为4X^2/19+16Y^2/19=1

Answer 3

Answer 4