Question

已知F1 F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上的一点 ∠F1PF2=60度

1 求椭圆离心率的 取值范围
2 求证：三角行 F1PF2 的面积 只与 椭圆的短轴长 有关

急啊 过程 谢拉

Answer 1

1.由焦半径公式： F1P=a+ex F2P=a-ex F1F2=2c
在△PF1F2中 应用余弦定理
cos60º=1/2=[(a-ex)²+(a+ex)²-4c²]/2(a-ex)(a+ex)===>x²=[4c²-a²]/3e²
x²∈[0,a²)===>[4c²-a²]/3e²∈[0,a²)
∴e∈[1/2,1)
2.设:PF1=m, PF2=n, 应用余弦定理
F1F2²=m²+n²-2mncosQ=(m+n)²-2mn-2mncosQ 即:
(2c)²=(2a)²-2mn(1+cosQ)===>4a²-4c²=2mn(1+cosQ)===>mn=2b²/(1+cosQ)
∴S△F1PF2=mnsinQ/2=b²sinQ/(1+cosQ)=b²tan(Q/2)=b²tan30º=√3b²/3