Question

设椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的左焦点为F,上顶点为A,过点A且与AF垂直的光线经

设椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的左焦点为F，上顶点为A，过点A且与AF垂直的光线经过椭圆的右准线反射，反射光线与直线AF平行
（1）求椭圆的离心率（2）设入射光线与右准线的焦点为B，过A,B,F三点的圆恰好与直线3X-Y+3=0相切，求椭圆方程
今晚之前

谢谢

Answer 1

1，利用 几何 知识简便求解。
设过A且与AF垂直的光线与准线交点为B，
则AB⊥AF
因为反射光线与直线AF平行，所以 入射光线 与反射光线垂直，
所以入射角为45°，
所以∠AFO=45°，
即c=b，即 离心率 e=c/a=√2/2。
2，A(0,b)、F(-c,0)，
由1知AB的方程为y=-x+b，
所以B(a^2/c,b-c^2/a)，
由AF⊥AB知圆心O'为F、B中点，即O到直线3x-y+3=0的距离是|FB|/2，
由此列出关系式，
|3*(a^2/c-c)/2-(b-a^2/c)/2+3|/√10=(1/2)√[(b-a^2/c)^2+(a^2/c+c)]
将c=b及a=√2b代入可得
|2b+3|=5b，
所以b=1，
所以 椭圆 方程为x^2/2+y^2=1。

Answer 2

1，利用 几何 知识简便求解。
设过A且与AF垂直的光线与准线交点为B，
则AB⊥AF
因为反射光线与直线AF平行，所以 入射光线 与反射光线垂直，
所以入射角为45°，
所以∠AFO=45°，
即c=b，即 离心率 e=c/a=√2/2。
2，A(0,b)、F(-c,0)，
由1知AB的方程为y=-x b，
所以B(a^2/c,b-c^2/a)，
由AF⊥AB知圆心O'为F、B中点，即O到直线3x-y 3=0的距离是|FB|/2，
由此列出关系式，
|3*(a^2/c-c)/2-(b-a^2/c)/2 3|/√10=(1/2)√[(b-a^2/c)^2 (a^2/c c)]
将c=b及a=√2b代入可得
|2b 3|=5b，
所以b=1，
所以 椭圆 方程为x^2/2 y^1=1。