Question

高数问题隐函数

请问一下隐函数的概念并举例，还有一道题目，求由方程x^3+y^3=6xy所确定的隐函数y（x）的导数dy/dx,方程两边分别对x求导，3x^2+3y^2(dy/dx)=6y+6x(dy/dx)两边的dy/dx是什么意思？

Answer 1

解答：
1、显函数 = Explicit Function
就是可以写成 y 等于x的什么什么形式。
如：y = sinx, y = 3x², y = ln x ....

2、隐函数 = Implicit Function
隐函数的来源有两个：
一是没有方法写出，如：xy + siny = 2, 解不出y;
二是没有必要写出，如 y² = 3x + 4, 解出后有正负号，需要分开考虑，嫌麻烦。

3、隐函数的求导：
x³ + y³ = 6xy 在理论上可以解出 y,
y 是 x 的函数，即 y = ƒ(x)
现在是既没有必要。也没有可能解出 y, 索性连考虑都不考虑。
x³是x的函数，毫无疑问；
y³、6xy也是x的函数，也毫无疑问；
只是要记住：
a、y³先是y的函数(y的三次方)，而y又是x的函数，所以是复合函数；
b、6xy既是x的函数，也是y的函数，而y又是x的函数，所以也是复合函数；
c、现在是对x求导，不是对y求导，从a、b可知，它们都是复合函数，
所以y³求导后变成3y²,这只是对y求导的结果，还必须再继续对x求导，就是乘上dy/dx;
对6xy求导，要用积的求导方法，对前面部分求导有6y，对后面部分求导有6xdy/dx

结论：隐函数求导，要当成复合函数来求导。

Answer 2

隐函数说白一点就是没写成y=f（x）的形式的函数，像x^2+y=2xy（不是是y=f(x)的形式就是一个隐函数，通过移项得到x^2=2xy-y，得到x^2=y(2x-1)得到y=x^2/(2x-1),这个就是原隐函数显化后的显函数（是y=f(x)的形式）
3x^2+3y^2(dy/dx)=6y+6x(dy/dx)里的dy/dx表示y对于x的导数，可以写成y'形式

Answer 3

dy/dx 是微分形式。。。

这里可以理解为y对x的导数

此处把y看作x的导数处理。。。

所以在对y的表达式求导后

还需要算y对x的导数

Answer 4

定义：一般地，如果变量x和y满足一个方程
f(x,y)=0,在一定条件下，当x取某区间内的任一值时，相应地总有满足这方程的唯一的y值存在，那么就说方程f（x,y)=0在该区间内确定了一个隐函数。
例如：x+y^3-1=0表示一个函数，因为当变量x在实数R内取值时，变量y有确定的值与之对应，当x=0时，y=1;当x=-1时，y=2的根号三次方，等等，这样的函数为隐函数。
与之相对应的时显函数，例如y=lnx，y=x^3+x等等。
dy/dx就是y对x求导，即y'或f(x)’。