Question

我想问一道微积分的数学题

求(3cosx-sinx)/(cosx+sinx)对于x的积分

有没有一点公式去解这种类型的题
THX............

Answer 1

对于这类题需要两个技巧：
1、对被积函数进行改写
2、换元法积分
注意到这个被积函数的分母是cosx+sinx,如果设成u的话，那么u'=-sinx+cosx。可以考虑把分子改写成a(cosx+sinx)+b(-sinx+cosx)的形式，那么这个被积函数就可以拆成两部分——一部分是常数a，可以直接积分；另一部分是b(-sinx+cosx)/(cosx+sinx),可以用换元法积分。以下是解答：
设3cosx-sinx=a(cosx+sinx)+b(-sinx+cosx)，求得a=1，b=2。
则(3cosx-sinx)/(cosx+sinx)=1+2(-sinx+cosx)/(cosx+sinx)
所以原积分=∫1+2(-sinx+cosx)/(cosx+sinx)dx
=∫1dx+2∫(-sinx+cosx)/(cosx+sinx)dx
=x+2ln|cosx+sinx|+C

Answer 2

没有什么特别的一步到位的方法，基本方法如下：

3cosx - sinx = cosx - sinx + 2cosx
cosx = cos(x-π/4+π/4)
= cos(x-π/4)cos(π/4)-sin(x-π/4)sin(π/4)
cosx + sinx = sin(π/2-x) + sinx
= 2sin(π/4)cos(π/4-x)

∫(3cosx-sinx)/(cosx+sinx)dx
=∫(cosx-sinx+2cosx)/(cosx+sinx)dx
=∫(cosx-sinx)/(cosx+sinx)dx + ∫2cosx/(cosx+sinx)dx
=∫d(sinx+cosx)/(cosx+sinx)dx +
∫2[cos(x-π/4)cos(π/4)-sin(x-π/4)sin(π/4)]/2sin(π/4)cos(π/4-x)dx
=ln|cosx+sinx|+C
∫[cos(x-π/4)-sin(x-π/4)]/cos(π/4-x)dx
=ln|cosx+sinx|+C+
∫[cos(x-π/4)/cos(π/4-x)dx-∫[sin(x-π/4)]/cos(π/4-x)dx
=ln|cosx+sinx|+C+
∫dx-∫[sin(x-π/4)]/cos(x-π/4)dx
=ln|cosx+sinx|+x+C-∫[sin(x-π/4)]/cos(x-π/4)dx
=ln|cosx+sinx|+x+C+∫dcos(x-π/4)/cos(x-π/4)dx
=ln|cosx+sinx|+x+ln|cos(x-π/4)|+C

Answer 3

楼上复杂了
3cosx-sinx=2(cosx-sinx)+(cosx+sinx)
一步能解
d(sinx+cosx)=cosx-sinx
半角公式也快，记u=tan(x/2)

Answer 4

主要是这个思路，这是一种题型