Question

谁能帮我举例解释一下函数极限的定义。

定义：
如果对于任意给定的正数γ，总存在一个正数M，使得当一切|x|>M时，|f（x)-A|<γ恒成立，则称当x趋于无穷大时，函数f（x）以常数A为极限。
麻烦举个例子详细说明下。感激不尽！

Answer 1

当自变量 取正整数而无限增大（即 ）时，对应的函数值 无限接近于确定的数 .把数列极限概念中的函数为 而自变量的变化过程为 等特殊性撇开，这样可以引出函数极限的一般概念：在自变量的某个变化过程中，如果对应的函数值无限接近于某个确定的数，那么这个确定的数就叫做在这一变化过程中函数的极限。这个极限是与自变量的变化过程密切相关的，由于自变量的变化过程不同，函数的极限就表现为不同的形式。数列极限看作函数 当 时的极限，这里自变量的变化过程是 .下面讲述自变量的变化过程为其他情形时函数 的极限，主要研究两种情形：

1． 自变量 任意地接近于有限值 或者说趋于有限值 （记作 ）时，对应的函数值 的变化情形；

2. 自变量 的绝对值 无限增大即趋于无穷大（记作 ）时，对应的函数值 的变化情形。
现在考虑自变量 的变化过程为 。如果在 的过程中，对应的函数值 无限接近于确定的数值 ，那么就说 是函数 当 时的极限。当然，这里我们首先假定函数 在点 的某个去心邻域内是有定义的。

在 的过程中，对应的函数值 无限接近于 ，就是 |能任意小。就如数列极限概念中那样， 能任意小这件事可以用 来表达，其中 是任意给定的正数。因为函数值 无限接近于 是在 的过程中实现的，所以对于任意给定的正数 ，只要求充分接近于 的 所对应的函数值 满足不等式 ;而充分接近于 的 可表达为 ，其中 是某个正数。从几何上看，适合不等式 的 的全体，就是点 的去心的 邻域，而邻域半径 则体现了 接近 的程度。

通过以上分析，我们给出 时函数的极限定义如下。
我们指出，定义中 表示 ，所以 时 有没有极限，与 在点 是否有定义并无关系。

函数 当 时的极限为 的几何解释如下：
例1 证明 ，此处 为一常数。

证 这里 ，因此对于任意给定的正数 ，可任取一正数 ，当 时，能使不等式

成立。所以

Answer 2

f(x)=1/x
A=0
无论x趋于正无穷还是趋于负无穷，f(x)极限为0.也就是说，只要|x|足够大，那么|f(x)-A|=1/|x|可以任意小，比如|x|>M=1/γ时，1/|x|<γ恒成立。

Answer 3

楼主请仔细理解，“则称”前面的句子相当于：绝对值[f(x)-A]=0，因为Y可以任意小！
理解这就好说了，举个例子：
f(x)=e^(-x),A=0