Question

周长相等的四边形中，为什么正方形面积最大？

Answer 1

很严格的证明一时也想不出，姑且这样证吧：
设四个边按顺时针分别是abcd
（1）在等周时面积最大的四边形应有以下性质：a=b,c=d
证：假定面积最大的四边形不满足此条件，即a≠b，c≠d。用一个对角线把这个四边形分成两个三角形，a，b和c，d各在一个三角形中。利用海伦公式和均值不等式很容易证明，如果令a'=b',c'=d',则新的四边形比原有的要大，与假设矛盾。这样就证明了（1）
（2）利用（1），容易证明面积最大的四边形应满足a=b=c=d，或者说这个四边形是一种菱形
证明法同1类似
（3）容易证明在满足（2）的菱形中，有一个角是直角时面积最大，因此这个菱形是正方形。
综上，周长相等的四边形中，正方形面积最大。

Answer 2

四边形的面积s=ab*sine + cd*sinf e和f表示四边形的对角 abcd表示边长 上述公式e f是独立的变量 显然e和f=90度是面积最大 也就是说是矩形时面积最大 而此时就得到a+b是定值，由平均值不等式得a=b时ab最大 也就得到四边形是正方形

Answer 3

因为周长c固定，假设长方形长边为a，那么另一边为c/2-a，相乘得ca/2-a2，其最大值即任意临边长短相等

Answer 4

不知你是否学过这一原理：两个数的和一定，当两个数相等时它们的积最大。就是这个意思！

Answer 5

因为要使两数积最大，并且和相等，要不两数相等，要不两数差一。