Question

数学题：导数与微分的本质区别

题目：
区分导数与微分
指出两者之间的本质区别
他们直接有什么联系
1000字以上，可以有废话

Answer 1

1、一元函数，可导就是可微，没有本质区别，完全是一个意思的两种表述：
可导强调的是曲线的斜率、变量的牵连变化率；
可微强调的是可以分割性、连续性、光滑性。

dx、dy: 可微性； dy/dx: 可导性

dy = (dy/dx)dx， 在工程应用中,变成： Δy = (dy/dx)Δx

这就是可导、可微之间的关系：
可导 = 可微 = Differentiable。
导数 = 微分 = Differentiation，Derivative
不可导 = 不可微 = Undifferentiable

【说穿了，可以说是中文在玩游戏，也可以说中文概念更精确性】

2、二元和二元以上的多元函数有偏导(Partial Differentiation)的概念，
有全导数、全微分(Total Differentiatin)的概念。
【说穿了，可以说也是中文在玩游戏，也可以说中文概念更有思辩性】
多元函数有方向导数(Directional Differentiation/Derivative)的概念

一元函数，无所谓偏导、全导，也没有全微分、偏微分、方向导数的概念。

3、对于多元函数，沿任何坐标轴方向的导数都是偏导数，
a、沿任何特定方向的导数都是方向导数。
b、方向导数取得最大值的方向导数就是梯度(Gradient)。
c、英文中有全导数的概念(Total Differentian),只是我们的教学不太习惯
这样称呼，我们习惯称为全微分，其实是完全等同的意思。

一元函数没有这些概念。偏导就是全导，全导就是偏导。

4、dx、dy、du都是微分，只有在写成du=(∂f/∂x)dx + (∂f/∂y)dy时，
du才是全微分，而dx、dy就是偏微分，只是我们不习惯这样讲罢了。
而∂f、∂x、∂y还是微分的概念，是df、dx、dy在多元函数中的变形。

x的单独变化会引起u的变化，du=(∂f/∂x)dx
y的单独变化会引起u的变化，du=(∂f/∂y)dy
其中的 ∂f/∂x、∂f/∂y 就是二元函数f分别对x,y的偏导数。
∂f/∂x 就是由于x的变化单独引起的f的变化率，部分原因引起，为“偏”；
∂f/∂y 就是由于y的变化单独引起的f的变化率，部分原因引起，为“偏”。

x、y同时变化，引起u的变化是：
du=(∂f/∂x)dx + (∂f/∂y)dy
这就是全微分，所有原因共同引起为“全”。

总而言之，言而总之：
对一元函数，可导与可微没有本质区别；
对多元函数，可微是指所有方向可以偏导，可微的要求更高。

Answer 2

废话都可以有，为什么不可以整理一下别人的言论？下面是我搜集整理的一些答案，基本满足楼主的要求！
导数（derivative）亦名微商，由速度问题和切线问题抽象出来的数学概念。又称变化率。如一辆汽车在10小时内走了 600千米，它的平均速度是60千米／小时，但在实际行驶过程中，是有快慢变化的，不都是60千米／小时。为了较好地反映汽车在行驶过程中的快慢变化情况，可以缩短时间间隔，设汽车所在位置x与时间t的关系为x＝f（t），那么汽车在由时刻t0变到t1这段时间内的平均速度是[f(t1)-f(t0)/t1-t0]，当 t1与t0很接近时，汽车行驶的快慢变化就不会很大，平均速度就能较好地反映汽车在t0 到 t1这段时间内的运动变化情况 ，自然就把极限[f(t1)-f(t0)/t1-t0] 作为汽车在时刻t0的瞬时速度，这就是通常所说的速度。一般地，假设一元函数 y＝f(x )在 x0点的附近(x0－a ，x0 ＋a)内有定义，当自变量的增量Δx＝ x－x0→0时函数增量 Δy＝f（x）－ f（x0）与自变量增量之比的极限存在且有限，就说函数f在x0点可导，称之为f在x0点的导数（或变化率)。若函数f在区间I 的每一点都可导，便得到一个以I为定义域的新函数，记作 f′，称之为f的导函数，简称为导数。函数y＝f（x）在x0点的导数f′（x0）的几何意义：表示曲线l 在P0〔x0，f（x0）〕 点的切线斜率。

导数是微积分中的重要概念。导数定义为，当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量之商的极限。在一个函数存在导数时，称这个函数可导或者可微分。可导的函数一定连续。不连续的函数一定不可导。
区别 虽然在计算上 二者可以近似相等 但数学意义是不同的 导数又叫做微分商 顾名思意 它是两个微分相除。可以理解为 曲线的变化率 而微分则可以理解为曲线的变化量 一个是率 一个是在面积上的积累量 所以不同 数学是严谨的学科 既然是不同的名词 就一定有不同的意义
对于一元函数y=f(x)而言，导数和微分没什么差别。导数的几何意义是曲线y=f(x)的瞬时变化率，即切线斜率。微分是指函数因变量的增量和自变量增量的比值△y=△f(x+△x)-f(x)，这里可以把自变量x看成是关于自身的函数y=x，那么△x=△y,所以微分另一种说法叫微商，dy/dx是两个变量的比值。一般来说，dy/dx=y'。
对于多元函数，如二元函数z=f(x,y)而言，导数变成了关于某个变量的偏导数。此时，微分符号dz/dx是个整体，不能拆开理解。而且，有个重要区别，可导不一定可微。即可导是可微的必要非充分条件。但是，有定理，若偏导数连续则函数可微。具体看全微分与偏导数有关章节.

Answer 3

导数亦名纪数、微商，由速度变化问题和曲线的切线问题而抽象出来的数学概念。又称变化率。
导数定义为：当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量之商的极限。在一个函数存在导数时，称这个函数可导或者可微分。可导的函数一定连续。不连续的函数一定不可导。

如一辆汽车在10小时内走了 600千米，它的平均速度是60千米／小时，但在实际行驶过程中，是有快慢变化的，不都是60千米／小时。为了较好地反映汽车在行驶过程中的快慢变化情况，可以缩短时间间隔，设汽车所在位置s与时间t的关系为s＝f（t），那么汽车在由时刻t0变到t1这段时间内的平均速度是[f(t1)-f(t0)]/[t1-t0]，当 t1与t0很接近时，汽车行驶的快慢变化就不会很大，平均速度就能较好地反映汽车在t0 到 t1这段时间内的运动变化情况 ，自然就把极限[f(t1)-f(t0)]/[t1-t0] 作为汽车在时刻t0的瞬时速度，这就是通常所说的速度。一般地，假设一元函数 y＝f(x )在 x0点的附近(x0－a ，x0 ＋a)内有定义，当自变量的增量Δx＝ x－x0→0时函数增量 Δy＝f（x）－ f（x0）与自变量增量之比的极限存在且有限，就说函数f在x0点可导，称之为f在x0点的导数（或变化率)。若函数f在区间I 的每一点都可导，便得到一个以I为定义域的新函数，记作 f'，称之为f的导函数，简称为导数。函数y＝f（x）在x0点的导数f'（x0）的几何意义：表示曲线l 在P0〔x0，f（x0）〕 点的切线斜率。一般地，我们得出用函数的导数来判断函数的增减性的法则：设y＝f(x )在（a，b）内可导。如果在（a，b）内，f'（x）>0,则f（x）在这个区间是单调增加的。。如果在（a，b）内，f'（x）<0,则f（x）在这个区间是单调减小的。所以，当f'（x）=0时，y＝f(x )有极大值或极小值，极大值中最大者是最大值，极小值中最小者是最小值。
导数的几何意义是该函数曲线在这一点上的切线斜率。
导数另一个定义：当x=x0时，f’(x0)是一个确定的数。这样，当x变化时，f'(x)便是x的一个函数，我们称他为f(x)的导函数（derivative function）（简称导数）。

微分定义为：若函数y = f(x)在x0处的改变量Δy可以表示为Δx的线性函数AΔx与一个比Δx高阶无穷小量的和，即Δy = AΔx + o(Δx）那么称函数f(x)在点x0是可微的，其中AΔx称为函数f(x)在x0处的微分，记作dy，即dy = AΔx。
若函数f(x)在点x0是可微，按定义则有：Δy = AΔx + o(Δx）两端除以Δx，取Δx趋近于0时的极限可得A=f‘(x)，即f(x)在点x0处是可导的。反之若f(x)在点x0处可导，根据极限与无穷小的关系，可得Δy = AΔx + o(Δx）。可见在x0处可导与可微是等价的。
自变量x的微分dx=（x）‘Δx=Δx，于是函数y = f(x)的微分又可记作dy = f'(x)dx。函数的微分与自变量的微分之商等于该函数的导数。因此，导数也叫做微商。
几何意义
设Δx是曲线y = f(x)上的点M的在横坐标上的增量，Δy是曲线在点M对应Δx在纵坐标上的增量，dy是曲线在点M的切线对应Δx在纵坐标上的增量。当|Δx|很小时，|Δy－dy|比|Δy|要小得多(高阶无穷小)，因此在点M附近，我们可以用切线段来近似代替曲线段。

从两者概念的不同可以看出本质的不同。联系就是dy = f'(x)dx

Answer 4

虽然在计算上 二者可以近似相等 但数学意义是不同的 导数又叫做微分商 顾名思意 它是两个微分相除。可以理解为 曲线的变化率 而微分则可以理解为曲线的变化量 一个是率 一个是在面积上的积累量 所以不同 数学是严谨的学科 既然是不同的名词 就一定有不同的意义.导数刻划了函数的瞬时变化率,而微分则表示了函数的瞬时变化量。 导数是研究函数在一点处变化的快慢程度(变化率)。在均匀变化情况下，需用除法计算的量，在非均匀变化的情况下，往往可用导数来计算，因此，导数可看作初等数学中商(除法)的推广；积分是研究函数在某一区间内变化的大小，它可看作初等数学中积(乘法)的推广。 

下面给你一些题目（附答案）:

Answer 5

对于一元函数下的微分，由△y=A△x+0(x),记得dy=A△x,A即为其相对应的导。对于函数f(x),在某点处可导是其可微的充要条件。也可以说导数是相应函数微分dy与自变量微分dx的商。所以导数又称微商。而对于两者的几何意义而言，导数是函数在过相应点切线的斜率，而相应微分就是这条切线纵坐标的改变量。
导数强调的是一种变化率，而微分是对于变化量的解读。

而对于多元函数之下的偏导数和全微分，又有些微的区别。
以二元函数为例，f（x+△x,y）-f(x,y)≈fx(x,y)△x【对x的偏微分】（当然另外还有对y的偏微分）。x,y均改变的情况下产生的函数改变量成为全增量，这种情况下产生了全微分。
对于二元函数z=f(x,y)在点（x,y）处可微分（全微分），那么在此点就有偏导数，且在此点沿任意方向的方向导数（偏导数也可以说是方向导数中的特例）均存在。而偏导数在此点处连续才能得到可微分。
进一步，也即是说偏导数是全微分的必要不充分条件。
此种情况下看，可微分的条件更为严苛。

其实我们也可以将一元函数中的导数和微分看做是一种特殊的全导和全微，因为它研究的基础是平面的，变化也是单一的。