Question

用待定系数法求二次函数的方法和解题

请帮忙分析一下这两个：（求解析式的）
（1）图像经过A（-1，0）、B（3，0）两点，函数有最小值-8；
（2）图像顶点坐标是（1，-9），与X轴两交点的距离是6.
我知道第一个要用顶点式，但是具体通过什么得到需要的数据呢？这个最小值在题目里是怎样应用的？
第二个用交点式来解我知道，但是不懂得“a”怎么处理。
谢谢
初中函数题

Answer 1

　　用待定系数法求二次函数的解析式属于初中升学考试内容，大纲要求：“会用待定系数法由已知图象上三个点的坐标求二次函数的解析式”。近年来中考试题中经常以有关二次函数的题目作为压轴题，求函数解析式往往是解决这类问题的关键一步。
　　求二次函数解析式的方法很多，无论用哪一种方法来求，都可归纳到用待定系数法来求。根据已知条件恰当地选用函数解析式的形式，选择得当，解题简捷，若选择不当，解题繁琐。教学中，我深深地体会到：要想让学生真正掌握求函数解析式的方法，教师应在给出相应的典型例题条件下，让学生自己去寻找答案，自己去发现规律。最后，教师清楚地向学生总结每一种函数解析式的适用范围及一般应已知的条件。
　　一、应先掌握二次函数解析式的三种基本形式：
　　一般式：y=ax2+bx+c
　　交点式：y=a(x-x1)(x-x2)其中x1，x2为抛物线与X轴两个交点的横坐标
　　顶点式：y=a(x-h)2+k
　　二、根据抛物线上点的坐标求函数解析式
　　1、当已知二次函数的图象经过三点（该三点不是特殊点，如顶点、与坐标轴的交点、对称点）时，可设其解式为一般式y=ax2+bx+c(a≠0)
　　2、已知两次函数的图象与X轴的两个交点为（x1，0），（x2，0）时，可设其解析式为y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0)
　　3、已知二次函数图象的顶点坐标为（h，k），可设其解析式为顶点式y=a(x-h)2+k
　　三、灵活选用方法解题
　　例题：　已知二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)的图象与x轴交于不同的两点A（1，0）和B,与y轴交于点C（0，3），其对称轴是直线x=2，求这个二次函数的解析式
　　解：法一　设所求函数的解析式为：y=ax2+bx+c
　　则 解得
　　所以所求二次函数解析式为y=x2-4x+3
　　法二　因为抛物线的对称轴是直线x=2，它与X轴交于A（1，0），
　　所以B点坐标为（3，0）
　　可设所求二次函数的解析式为：y=a(x-1)(x-3)
　　将C(0，3)代入上式得a=-1
　　所求的函数解析式为y=x2-4x+3
　　法三　因为抛物线的对称轴是直线x=2，可设所求二次函数的解析式
　　为：y=a(x-2)2+k，
　　将点A（1， 0），C（0，3）代入上式得
　　解得
　　所以所求的函数解析式为y=(x-2)2-1
　　用待定系数法求二次函数解析式，要注意恰当选择解析式的形式，尽可能使表达式中待定系数的个数最少，且简便易求，如上题中用方法二就简单些

Answer 2

可设y=a(x+b)^2+c
函数有最小值-8，说明开口向上，且顶点纵坐标为-8
即c=-8 (x=-b时）
再将A、B点坐标代入，去求a和b
a=2,b=-1
y=2(x-1)^2-8=2x^2-4x-6

Answer 3

（1）可设y=a(x+b)^2+c
函数有最小值-8，说明开口向上，且顶点纵坐标为-8
即c=-8 (x=-b时）
再将A、B点坐标代入，去求a和b
a=2,b=-1
y=2(x-1)^2-8=2x^2-4x-6

（2）一样用顶点式
设y=a(x-1)^2-9，顶点在x轴下方，如果要有两个交点，就必须开口向上，即a>0
令y=a(x-1)^2-9=0 => x=±3/√a+1
两交点的距离是6.
得|x1-x2|=3/√a+1-(-3/√a+1)=6/√a=6
a=1
y=(x-1)^2-9=x^2-2x-8