Question

高二椭圆数学题

设A（x1,y1),B(4,9/5),C(x2,y2)是右焦点为F的椭圆x^2/25+y^2/9=1上三个不同的点，则“丨AF丨,丨BF丨,丨CF丨成等差数列”是“X1+X2=8的充要条件。
我想问的是为什么？

Answer 1

右准线为：x=a^2/c=25/4
设A、B、C到右准线的距离为d1、d2、d3
d1=25/4-x1,d2=9/4,d3=25/4-x2
由椭圆的第二定义(点到定点的距离等于到定直线距离的e倍,定点为焦点，定直线为准线)
丨AF丨=ed1、丨BF丨=ed2、丨CF丨=ed3
丨AF丨,丨BF丨,丨CF丨成等差数列 等价于：
2ed2=ed1+ed3,2d2=d1+d3,即：x1+x2=8
∴“丨AF丨,丨BF丨,丨CF丨成等差数列”是“X1+X2=8的充要条件.