Question

一道求函数最值的数学题

f(x)=x^(2/3)-(x^2-1)^(1/3)
答案是：最小值，f(2)=4^(1/3)-3^(1/3)
最大值，f(1/根号2）= 4 的立方根
写出解答过程，谢谢
他的导数是=(2/3)x^(-1/3) - (2/3)x(x^2-1)^(-2/3)
然后令导数等于0，求x. 但我求不出x的值。

Answer 1

(1)x^(2/3)=[(x^2-1)+1]^(1/3).（2）令t=x^2-1,（t≥-1).问题可化为求函数g(t)=[(t+1)^(1/3)]-[t^(1/3)]在[-1,+∞)上的极值。(3)求导得，3g'(t)=[(t+1)^(-2/3)]-[t^(-2/3)].===>g'(-1/2)=0.(4)若-1<t<-1/2,===>-1<t<-1/2<0<t+1<1/2.===>|t|>1/2>|t+1|>0.===>t^2>(t+1)^2>0.===>t^(2/3)>(t+1)^(2/3)>0.===>g'(t)>0.若-1/2<t<0.可证得g'(t)<0.若t>0.则易知g'(t)<0,===>函数g(t)的驻点为-1，-1/2,0.==>>g(-1)=g(0)=1.g(-1/2)=4^(1/3)>1.(5)易知，当t≥-1时，恒有g(t)>0.且limg(t)=0.(t--->+∞).===>g(t)max=4^(1/3).g(t)min不存在。俺认为，你的答案有问题。

Answer 2

求导数. 郁闷, 求导数的方法忘了. 哎.

这样试试，我翻了下高等数学的书，时间太长了，不太清楚了。但是我一感觉它能用这个方法做出来。

一开始就直接求导数应该不可能，要化简之后求导。

设：x^(2)-1=z, x=(z-1)^(1/2)

把这个进入f(x),求导数。

我都四五年没看过高数了。有点郁闷。