Question

求椭圆离心率e的取值范围

设A是椭圆 x^2/a^2+y^2/b^2=1(a.>b>0)长轴上的一个顶点,若椭圆上存在点P,使AP⊥OP,求椭圆离心率

Answer 1

若椭圆上存在点P,使AP⊥OP,则P点应在以OA为直径,以OA中点为圆心的圆上,P点是椭圆与该圆的交点,如图所示,离心率随椭圆的"扁度"而变化,当"扁"到趋近X轴时,b→0,P点接近O点,c→a,e→1,当椭圆趋近圆时,b→a,P点趋近A点,c→0,

e→0,  0<e<1.

现用数值证明如下.

圆方程为:(x-a/2)^2+y^2=a^2/4,

x^2-ax+y^2=0,

椭圆方程:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a.>b>0),

二方程联立,

解之,x=ab^2/(a^2-b^2)=a/[(a/b)^2-1],

x是P点的横坐标,a不变,a/b>1,b越小,x越小,P越接近原点O,c接近a,离心率接近1,

反之,b越大,x越大,P越接近A点,c接近0,离心率则趋于0.

∴0<e<1.

Answer 2

简单计算一下，答案如图所示

Answer 3

因为PF1+PF2=2a。设PF1=X(a<x<a+c)则PF2=2a-X.
之所以这样假设，是因为pf1与pf2之间存在对称关系。所以这样的假设实际上已经包含所有可能的情况。其他情况只不过是F1,F2位置的互换，和PF1,PF2关于X轴取对称。
所以设S=PF1*PF2,得到S=2aX-X^2.
显然，x>a,函数单调递减。
当X=a时，函数取最大值应小于等于3C^2，即
a^2<=3c^2,等到离心率e>=三分之根号三。
当X=a+c时，函数取最小值应大于等于2C^2.
S=a^2-c^2>=2c^2.于是a^2>=3c^2得到离心率e<=三分之根号三。
综上，得到离心率e=三分之根号三。

Answer 4