Question

高等代数考研题

设V是4维欧式空间，A是V的一个正交变换。若A没有实特征值，求证：A可分解为两个正交的二维A不变子空间的直和。

Answer 1

感觉题目有点问题，最后应该是证明：V可分解为两个正交的二维A不变子空间的直和，否则A作为一个变换怎么分解为直和？

我得想法：
V是4维空间，则A的特征多项式为4次，又没有实特征值，从而特征多项式一定是两个实数域不可约二次多项式的乘积。
A在4维复空间内一定存在复特征值，且其虚部不为0，共轭成对，令为a1+ib1,a1-ib1,a2+ib2,a2-ib2，b1和b2都不为0，易知共轭的特征值对应的特征向量也共轭，从而，一对共轭特征值对应于两个4维实数列向量u,v，且
A(u+iv)=(a1+ib1)(u+iv)，则

Au=a1u-b1v,
Av=a1v+b1u，(1)
u，v线性无关，否则令u=hv,则带入(1)，可得到(h*h+1)*b1=0，这是不可能的，所以u,v线性无关
由（1）得u,v的生成子空间即为V在A下的一个不变子空间，同理可得另一个不变子空间。因为不同特征值的特征向量线性无关，从而这两个不变子空间的直和为V

这两个子空间的正交性还不知道怎么证明...

Answer 2

先证简单的，(3)导(1)，实际上因为c可逆，因此r(a)≤r(a^2)≤r(a)，后面这个不等式总是成立的，所以(1)成立；然后(2)导(3)，先把(2)中的那个a平方，然后把平方后的那个形式凑成p(b，o，o，o)p^(-1)[p(b，o，o，e(n-r))p^(-1)]，因为方括号里的那几个矩阵都可逆，因此就可以把方括号里的那一堆记成c^(-1)，这样就有a^2=ac^(-1)，把c逆到左边，就是(3)；最后(1)导(2)，因为是用rank导，所以就得考虑把a变成jordan标准型，就是a=pjp^(-1)，然后把a的jordan标准型j写成上面m个jordan块是对角线元素不为0的那些，后面的是那些jordan块是对角线元素为0的，然后把b记成那m个对角线元素不为0的那些jordan块组成的矩阵，然后剩下来的就是说明那些对角线元素为0的jordan块都是1阶的就成了，实际上你把a的jordan标准型平方，然后用(1)就能得到这结果。

Answer 3

.
3阶交阵A,
tr(A)
=
-1-1A特征值充条件.
证明需注意交阵特征值都单位复数(实根能±1),
同虚根.
必要性反例简单,
A
=
-E即(tr(A)
=
-3).
二.
由(g(x),h(x))
=
1,
存u(x),
v(x)使u(x)g(x)+v(x)h(x)
=
1.
任意a
∈
V,
取b
=
v(A)h(A)a
∈
L1,
c
=
u(A)g(A)a
∈
L2.
a
=
b+c,
故V
⊆
L1+L2
⊆
V,
V
=
L1+L2.
进步能证明V1+V2直.
由a
∈
L1∩L2a
=
u(A)g(A)a+v(A)h(A)a
=
0,
故L1∩L2
=
{0}.