Question

1+(1+2)+(1+2+3)+(1+2+3+4)+(1+2+3+4+5)+......+(1+2+3+4+5+......+100)=?

1+(1+2)+(1+2+3)+(+1+2+3+4)+(1+2+3+4+5)+(1+2+3+4+5+6)+......+(1+2+3+4+5+6+......+100)它们的和是多少

Answer 1

17/1700

Answer 2

171700

Answer 3

设数列an，a1＝1，a2＝1＋2，a3＝1+2+3，…… an为等差数列的和，
可以解得an的通项公式为：an＝（1/2）n（n＋1）＝（1/2）（n^2＋n）此处可以把an看做是两个数列，一个是n^2，一个是n，
此时求an的和
Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an
＝(1/2)(1^2＋1)＋(1/2)(2^2＋2)＋(1/2)(3^2＋3)＋…＋(1/2)(n^2＋n)
＝(1/2)[(1^2＋2^2＋3^2＋…n^2）＋（1＋2＋3＋…＋n）]
＝(1/2)[n（n+1）(2n+1)/6＋n（n＋1）/2]
令n＝100，代入上式得
Sn＝(1/2)[100（100+1）(200+1)/6＋100（100＋1）/2]
＝(1/2)[50×101×67＋50×101]
＝(1/2)[50×101×68]
＝50×101×34
＝100×101×17
＝171700

这里提供一种比较容易想到的方法，其实还有很多其他的方法，楼主可以试试！

Answer 4

(1)设Sn=1+2+3+...+n=1/2n^2+1/2n
则原式=S1+S2+S3+.....+Sn=1/2(1^2+2^2+3^2+...+n^2)+1/2(1+2+3+...+n)=1/12n(n+1)(2n+1)+1/4n(n=1）=....
(2)1+1/(1+2)+1/(1+2+3)+1/(1+2+3...100)
1+2+3+....+n=1/2n(n+1),
1/(1+2)=2*(1/2*3),....
1/n(n+1)=1/n-1/(n+1)
所以原式=1+2(1/2*3+1/3*4+1/4*5+....+1/n(n+1)
=1+2[1/2-1/3+1/3-1/4+1/4-1/5+...+1/100-1/(100+1)]
=1+2(1/2-1/(100+1)
=200/101

Answer 5

把分子写成分母的最大数减1
，得
原式=(2-1)/(1*2)+(3-1)/(1*2*3)+(4-1)/(1*2*3*4)+(5-1)/(1*2*3*4*5)
=[2/(1*2)-1/(1*2)]+[3/(1*2*3)-1/(1*2*3)]+[4/(1*2*3*4)-1/(1*2*3*4)]+[5/(1*2*3*4*5)-1/(1*2*3*4*5)]
=[1/1-1/(1*2)]+[1/(1*2)-1/(1*2*3)]+[1/(1*2*3)-1/(1*2*3*4)]+[1/(1*2*3*4)-1/(1*2*3*4*5)]
=1-1/(1*2*3*4*5)
=1-1/120
=119/120.