Question

高数题!!

高数题:一个质量为m的雨滴,受重力作用自高空下降在下降途中匀速蒸发,设蒸发速度为v,不计空气阻力,问何时雨滴动能最大?

求详细解答过程!!

Answer 1

解：
设雨滴在t秒时最大动能，则此时雨滴质量为(m-vt),速度为gt,所以动能是
W(t)=0.5(m-vt)(gt)(gt)
W(t)'=0可得：
[0.5(m-vt)(gt)(gt)]'=mg^2t-1.5vg^2t^2=0
t1=0 t2=2m/(3v)
W(t1)"=mg^2>0是极小值，故略去
W(t2)"=mg^2-3vg^2<0是极大值
答：在2m/(3v)时动能最大。

Answer 2

由第一个极限等式可知，f(x)一定是一个3次多项式
因为如果f(x)是4次或4次以上的多项式，那么，x趋于无穷大时，分子就是4阶或四阶以上的无穷大，结果极限为无穷大，而不是2，如果f(x)是2次或2次以下的多项式，那么分子就是3阶无穷大，结果极限也是无穷大，所以f(x)只能是3次多项式，而且3次项系数只能是2，否则分子就是3阶无穷大，结果极限也不能是2，所以可得
f(x)=2x^3+ax²+bx+c，因此分子=ax²+bx+c,可知极限=a,

所以得
a=2
于是可得
f(x)=2x^3+2x²+bx+c
再看第二个极限等式，有f(x)/x=2x²+2x+b+c/x
如果
c≠0,

则x趋于0时，f(x)/x的极限就是无穷大，所以必有
c=0
所以
f(x)/x=2x²+2x+b,当x趋于0时
极限=b,所以
b=3
所以

f(x)=2x^3+2x²+3x

Answer 3

解：（1）
f(x)=m·e的x次方-lnx
f＇(x)=m·e的x次方-1/x
∵
其极值点就是导数为零的点
∴
f＇(x)=m·e的x次方-1/x=0
f＇(1)=m·e
-1
=0
∴
m=1/e
∴
f(x)=1/e·e的x次方-lnx=·e的x-1次方-lnx
f(x)=
e的x-1次方-lnx
∴
当x＞1
f＇(x)＞0
函数为增函数。
当0＜x＜1
f＇(x)＜0
函数为减函数。
当
x＜0
f＇(x)＜0
函数为减函数。
其中0为间断点。
（2）
f(x)=m·e的x次方-lnx
当
m≥1/e2
时
∵
f(x)=m·e的x次方-lnx
∴
m·e的x次方-lnx
≥1/e2
·e的x次方-lnx
∴
f(x)≥1/e2
·e的x次方-lnx
=e的x-2次方-lnx
f(x)≥e的x-2次方-lnx
从图像
看
f(x)=e的x-2次方
f(x)=lnx
以上两个图像永远不相交，并且f(x)=e的x-2次方永远在
f(x)=lnx的上方。
∴
e的x-2次方-lnx
＞0
∴
f(x)＞0