Question

求解一道概率论问题

Ai（i=1，2） 在1次试验中取得成功的概率同为p，另Ni为Ai第一次取得成功进行的试验次数。

P（Ni=n)=p(1-p)^n-1

回答下列问题

1.N1的期望
2.N1的方差
3.当A1和A2到成功时进行的试验次数相同时，设为M=N1=N2,求M的期望
4.S=N1+N2 求P（S=k)
5.求S的期望
6.A1比A2先成功的概率是多少

Answer 1

先写下第一，二，六问的解答：

1. N1的期望， E(Ni)=1/p （i=1,2)

过程：P(Ai=n)=p(1-p)^(n-1)
(n=1到∞)∑p(1-p)^(n-1)=1
(n=1到∞)∑(1-p)^(n-1)=1/p
两边对p求导，得：
-(n=1到∞)∑(n-1)(1-p)^(n-2)=-1/p²
(n=1到∞)∑(n-1)(1-p)^(n-2)=1/p²
(n=1到∞)∑(n-1)(1-p)^(n-1)=(1-p)/p²
[(n=1到∞)∑n(1-p)^(n-1)]-(n=1到∞)∑(1-p)^(n-1)=(1-p)/p²
[(n=1到∞)∑np(1-p)^(n-1)]-(n=1到∞)∑p(1-p)^(n-1)=(1-p)/p
[(n=1到∞)∑np(1-p)^(n-1)]-1=(1-p)/p ----- (1)
E(Ni)-1=(1-p)/p
E(Ni)=1/p

2. N1的方差， D(Ni)=(1-p)/p² （i=1,2)

过程：D(Ni)=E((Ni)²)-E²(Ni)
由(1)得： (n=1到∞)∑np(1-p)^(n-1)=1/p
(n=1到∞)∑n(1-p)^n=(1-p)/p²
两边对p求导，得：
-(n=1到∞)∑n²(1-p)^(n-1)=-1/p²-2(1-p)/p³
(n=1到∞)∑n²p(1-p)^(n-1)=1/p+2(1-p)/p²=(2-p)/p²
D(Ni)=E((Ni)²)-E²(Ni)=(2-p)/p²-1/p²=(1-p)/p²

6. A1比A2先成功的概率是多少
P(N1<N2)=P(N2<N1)
P(N1<N2)+P(N2<N1)+P(N1=N2)=1
P(N1<N2)=[1-P(N1=N2)]/2
P(N1=N2)=P(N1=N2=1, N1=N2=2, …, N1=N2=n, ….)
= P(N1=N2=1)+P(N1=N2=2)+, …, +P(N1=N2=n)+ ….
= P(N1=1)P(N2=1)+P(N1=2)P(N2=2)+, …, +P(N1=n)P(N2=n)+ ….
=(n=1到∞)∑p²(1-p)^[2(n-1)]
A1比A2先成功的概率
=P(N1<N2)=[1-P(N1=N2)]/2=[1-(n=1到∞)∑p²(1-p)^(2(n-1))]/2

Answer 2

指数要打括号-_-!

你知道 P（Ni=n)= p (1-p)^（n-1）
那么E(Ni)=∑np(1-p)^（n-1）
E(Ni^2)=∑n^2 * p * (1-p)^（n-1）
D(Ni)=E(Ni^2)-E(Ni)^2
不会算是吧？教你哦
当-1<x<1时，有
1/(1-x)=1+x+x^2+x^3+……=∑x^i (i=0,1,.....)
用的是麦克劳林公式，高数教的，不知道你学过没有...

两边求导，得
(1-x)^-2=∑ix^(i-1)
令x=1-p，得
p^-2=∑i(1-p)^(i-1)=∑np(1-p)^（n-1）/p 是吧？
所以
∑np(1-p)^（n-1）= p^-1 = 1/p

再来求∑n^2p(1-p)^（n-1）
再对刚刚那个式子两边乘x再求导，得到
(1-x)^-2 + 2x(1-x)^-3 = ∑i^2 x^(i-1)
令x=1-p,得到
∑n^2 (1-p)^（n-1）= p^-2 + 2(1-p)p^-3
所以E(Ni^2)=∑n^2 * p * (1-p)^（n-1）
=p^-1 + 2(1-p)p^-2
所以D(Ni^2)=(Ni^2)-E(Ni)^2
=(1-p)p^-2

3.显然P(M=m)=P(N1=m)P(N2=m)
=(1-p)^2(m-1) * p^2
E(M)=∑m(1-p)^2(m-1) * p^2 (m=1,2,3,......)
这次系数是指数的一半，那怎么办捏？
想像一下，要怎么把
1+x+x^2+x^3+……挖掉一半呢？
这样：
令x=-x，我们得到，
1/(1+x)=1-x+x^2-x^3+ - + - + - + - + - + - + ...
一加，消掉了一半，是吧？后面自己做...打字不容易...

4.因为P（S=k）
=∑P（N1=j）*P(N2=k-j) (k>2,j=0,...,k)
=∑(1-p)^k-2 * p^2
=(k+1)(1-p)^k-2 * p^2
所以

5.
E(S)=∑k(k+1)(1-p)^k-2 * p^2 (k>2)
老办法啦，我算出来是
-2+p^-3
------------
1 - p

6.这个要取巧，N1,N2等价是吧？
所以
P(N1<N2)=P(N1>N2)
又有P(N1<N2)+P(N1>N2)+P(N1=N2)=1
那么
P(N1<N2)=[1-P(N1=N2)]/2
又P(N1=N2)=∑P(N1=N2=i) (i=1,2,3,....我又用i了，这样是不对的...)
=∑p^2 * (1-p)^2(i-1)
=p^2 / 1 - (1-p)^2 (等比数列求和公式)

Answer 3

6问都是最基本的题，你到底哪一问不会？